2014高中数学抽象函数专题.docx

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1、----2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或f(x)f(x)]yf(y)指数函数f(x)=ax(a>0且≠f(x+y)=f(x)f(y)[或f(xf(x)a1)y)f(y)对数函数f(x)=logax(a>0且a≠f(xy)=f(x)+f(y)1)[或f(x)f(x)f(y)]y正、余弦函数f(x)=sinxf(x+T)=f(x)f(x)=cosx---------正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotxf(xy)

2、f(x)f(y)1f(x)f(y)f(xy)1f(x)f(y)f(x)f(y)---------一.定义域问题--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。例1.若函数y=f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x－1）的定义域为1x1。解：f(x)的定义域是2,2，意思是凡被f作用的对象都在2,2中。评析：已知f(x)的定义域是A，求fx的定义域问题，相当于解内函数x的不等式问题。练习：已知函数f(x)的定义域是1,2，求函数flog13x的定义域。2例2：已知函数flog3x的定义域为，，求函数f(x)的定义域。1,log311[311]评

3、析：已知函数fx的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数x的值域。---------练习：定义在3,8上的函数f(x)的值域为2,2，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为，值域为。0,4,3,83二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令xn,y1,得f(n1)f(n)2[f(1)]2,令x=0,y=

4、1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=1,即f(n1)-f(n)1,故f(n)n,f(2001)2001.2222②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.解析：由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)=f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)

5、≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5,又f(x+1)≤f(x)+1，所以g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1，即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.练习：1.f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数x,y都

6、有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则f(2)（1）22.如果f(xy)f(x)f(y),且f(1)2,则f(2)f(4)f(6)f(2000)的值是。2000f(1)f(3)f(5)f(2001)---------2f(1)f(2)3、对任意整数A.-14、函数f(x)为（）（B）f2(2)f(4)f2(3)f(6)f2(4)f(8).(f(n)2n,原式=16)f(3)f(5)f(7)x,y函数yf(x)满足：f(xy)f(x)f(y)xy1，若f(1)1，则f(8)CB.1C.19D.43R上的偶函数，对xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，若f(

7、1)2，则f(2005)=---------A.2005B.2C.1D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（）（A）A）1B）1C）8D）16816---------6、已知a为实数，且0a1,f(x)是定义在[0，1]上的函数，满足f(0)0,f(1)1,对所有xy,均有f(xy)(1a)f(x)af(y)2(1)求a的值(2)求f(1)的值7三、值域问题、f(1af(15(1)))2413又f(1)f(44)(1