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《2014高中数学抽象函数专题习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学抽象函数专题特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotx一.定义域问题--------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
2、例1.若函数y=f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x－1）的定义域为练习：已知函数f(x)的定义域是，求函数的定义域。例2：已知函数的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。练习：定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为，值域为。13二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例3.①对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f
3、(2001)=_______.②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.练习：1.f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则2.。.3、对任意整数函数满足：，若，则（）A.-1B.
4、1C.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（）A.2005B.2C.1D.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（）A）B）C）8D）1613三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5.
5、已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)例6、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,,求f(x)的解析式。例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.13例9、已知是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，则时，函
6、数的解析式为（）A．B．C．D．练习：1、2.（重庆）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。3、函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，（1）求的值；（2）对任意的，，都有f(x1)+27、定义法解决）例10.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。例11、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）解不等式13练习：已知函数f(x)的定义域为
8、R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.求证：f(x)是单调递增函数；例12、定义在R+上的函数f(x)满足:①对任意实数m,f(xm)=mf(x);②f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立;(2)证明f(x)是R+上的单调增函数;(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.练习1定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意
