例谈空间几何中翻折问题的解决策略

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1、例谈空间几何中翻折问题的解决策略沈良【专题名称］高中数学教与学【专题号】G312【复印期号】2011年12期【原文出处】《数学通报》（京）2011年7期第33〜36,4页【作者简介】沈良，杭州市萧山区第五高级中学（311202）・平血图形翻折成空间图形.空间图形展开成平面图形是立体几何屮的一类典型问题.它体现了爭物静止与运动的两个方面，将儿何图形翻折起來引起了变动的位宙关系，蕴含了运动的衿学思想；同时.在运动中乂保持了-•些相对不变的位电关系.蕴含了静止的哲学思想•在本文中，通过对几道典例型题的研究，谈谈翻折问题中相关内容的解决策略.一.对比分析.寻找不变虽和不变

2、关系例1（2009福建卷文20）如图1,平行四边形ABCD中ZDAB=60°•AB二2.ADM将CBD沿BD折起到ZEBD的位置,使平面EDB丄平面ABD.BD=2$/IB2+Blf=少,丙为DeU平血EBD,所以ABIDE.所以AB丄BD・又因为平面EBD丄平面ABD所以AB丄平面EBD.B1（I）求证：ABIDE.（II）求三棱锥E-ABD的侧面积.（I）证明在ZiABD中,因为AB=2,AD=4,ZDAB=60°•由余弦定理得(II)解略.後略研究通过例1，首先引起我们关注的是翻折问题中翻折对彖是什么，乂翻折到何种程度•纵观此类问題，无不是对三曲形、半行四

3、边形.梯形.矩形等平而图形进行加工处理•本例中就是将平行四边形ABCI）沿对角线对折，即△CBI）沿若BI）折起到△£!«）的位置，而折到的程度是使平血EDB丄平面ADB•通常折到某个程度乂往往是借助线段长度、相应的角度、相应的平行、垂宜关系等给出，我们可以利用相应线而位賢关系定理着手解决.也可以通过平而儿何知识特别是解三介形知识（如止弦.余弦定理）解决.其次，翻折是一个动态的过程，很多几何元素的册和位置关系都在发生变化，但关键在于寻找不变的虽和不变的关系，据此问题便迎刃而解，如本例中在翻折过程中，CD丄DB的位胃关系始终没有发生变化继而有EI）丄DB,再如长度C

4、D二ED.CB=EB等所以，解决翻折问题的突破口是对比平而图形与空间图形的变化，从两方面若手分析：①从什么样的图形开始折，折到什么程度：②折的过程中寻找哪些册、哪些关系发生了变化.特别是哪些昴.哪些关系没有•发生变化，这是解决问题的关键.接下来，我们不如再通过对比分析来感受另外的几道例题（题图见下页表格）.1.（2008重庆理19）如图，在ZUBC中，乙B=90%4C=y.DxE两点分别在AB^AC上使磊=短=2、DE=3・现将ZUBC沿DE折成直二面角.求:（I）异面直线4D与BC的距离；（D）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.2.（2005浙江文1

5、2）设N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE丄AB于E（如图）•现将ZkADE沿DE折起.使ZAEB=45°BD=2$/IB2+Blf=少,丙为DeU平血EBD,所以ABIDE.所以AB丄BD・又因为平面EBD丄平面ABD所以AB丄平面EBD.B1（I）求证：ABIDE.（II）求三棱锥E-ABD的侧面积.（I）证明在ZiABD中,因为AB=2,AD=4,ZDAB=60°•由余弦定理得(II)解略.後略研究通过例1，首先引起我们关注的是翻折问题中翻折对彖是什么，乂翻折到何种程度•纵观此类问題，无不是对三曲形、半行四边形.梯形.矩形等平而图形进行加工处理•本例中就是将

6、平行四边形ABCI）沿对角线对折，即△CBI）沿若BI）折起到△£!«）的位置，而折到的程度是使平血EDB丄平面ADB•通常折到某个程度乂往往是借助线段长度、相应的角度、相应的平行、垂宜关系等给出，我们可以利用相应线而位賢关系定理着手解决.也可以通过平而儿何知识特别是解三介形知识（如止弦.余弦定理）解决.其次，翻折是一个动态的过程，很多几何元素的册和位置关系都在发生变化，但关键在于寻找不变的虽和不变的关系，据此问题便迎刃而解，如本例中在翻折过程中，CD丄DB的位胃关系始终没有发生变化继而有EI）丄DB,再如长度CD二ED.CB=EB等所以，解决翻折问题的突破口是对

7、比平而图形与空间图形的变化，从两方面若手分析：①从什么样的图形开始折，折到什么程度：②折的过程中寻找哪些册、哪些关系发生了变化.特别是哪些昴.哪些关系没有•发生变化，这是解决问题的关键.接下来，我们不如再通过对比分析来感受另外的几道例题（题图见下页表格）.1.（2008重庆理19）如图，在ZUBC中，乙B=90%4C=y.DxE两点分别在AB^AC上使磊=短=2、DE=3・现将ZUBC沿DE折成直二面角.求:（I）异面直线4D与BC的距离；（D）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.2.（2005浙江文12）设N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE丄AB于E

8、（如图）•