完全剩余系与缩剩余系的性质及解法_何忆捷

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1、6．中等数学＿完全剩余系与箱剩余系的性质及解法．何忆捷理工学脘数学系2012200041（华东师范大学级博士研究生，）＇0－－－中图分类号：156．1文献标识码：Ａ文章编号：10056416（2015）06000606本讲适合高中）价于其均与ｎ互素ｎ两两不同余．（，且关于模剩余类与剩余系是初等数论中的重要概性质2若？（1矣ｋ／1）构成模／Ｉ的完．ｋｍＧＺｍｎ＝1则ｋ＋1矣ｉ矣ｒａ念在数学竞赛中，除数论问题外，许多组合系，、，（，），／＾（）题、甚至代数题也与剩余类、剩余系有密切的也构成模ｎ的完系；

2、联系．在解题时不仅需要熟悉剩余系（完全若？（1名构成模《的缩系，，ｍｎ＝ｒａｆｔ＋剩余系或缩剩余系）的性质经常需要借Ｚ（1（1矣ｉ忘，还，，），则助整体化思想来考虑剩余系．＜ｐ（ｎ））也构成模ｎ的缩系．性质3若1各ｎｎ的？（）构成模完！》、介系，则1．1定义＿ｎ（ｎ＋1）ａ⑴剩余类“丨2对正整数…把全体整数按模ｎ的余数（ｍｏｄｎ），ｎ为偶数；＿ｆ＾一ｎ类一分成，每类数的全体称为模ｎ的个，、＆私剩余类（或称同余类）．Ｊｌｒ＼＾ｒ、、—士性质4右ａＪＪｌＯ名识（ｎ））均构成

3、（2）完全剩余系＾在模ｎ的每个剩余类中各取－个元素，一＝则这ｎａｂｍｏｄｎ．个数就组成模ｎ的个完全剩余系Ｍｉ＼ＬＸ）以下简称完系．（）ｋ质3＾性质4是从整体的角度考虑完ｏ）ｍｍ＾系和缩系，这样的想法也是解决许多问题的在任意一个模ｎ的完全剩余系巾，仅保巾发点以下两例是其简单应甩留与ｎ互素的那些数ｒａ（共识（）个数，其中，2应用举例少（…为欧拉函数），则这ｐ（ｎ）个数组成模一的缩剩余系？个（或称既约剩余系、简化剩矣例直设ｎ为偶数，ｎ）均构、＾‘’Ｔ—＿）成模ｎ的完系．＋61？ｎ）证明（不构成￡ｆ12．常用

4、性质模ｒａ的完〃手1对于ｎ个整数性质，其构成模《的证明由性质3知完系等价于其关于模ｎ两两不同余；☆☆ａ＂6＂ｍｏｄｎ－（）对于识⑷个整数＇＇，其构成模《的缩系等§ＴＳ＋＝￣ｎ则〉ｂ）＋ｍｏｄ．】（；／Ｖ）‘ｌ2015－－222收稿日期0202ｈｉ：2015年第6期7＋6？？？故ａ（1々各ｒａ）不／ｉ的完系．解由于ａａ成模ｒａ的缩；；构成模！，2，，％构＝…例2设整数ｎ＞ｌ（ａｎ1？证明而ｒａ2＝12ａ2ａ2ａ，，）：系，（，），则！，2，，ｍ也构成＝1（ｍｏｄｎ．ｒ

5、ａ．）模的缩系？？？ｒａ的证明设…．ＴＺ2ａｎ，缩系ａ？，，？（？．ｋ丹．ｋ）构成模ｆｙ＝．ｓ．ｉｎＩｓｉｎ＿ｎ、办Ｗｉ，ｆ，皇？ＩＩ…ｎａａ＝＝ｎ由性质2知ａａａａ也构成模ｆｔｉｋｌ，，，！2ｙ…ｎ的缩系兀ａ7Ｚ？ｍＴ．？ｒｋ＝0Ｊｊ2ＩＩｓｉｎＩＩｃｏｓ？一根据性质ｎｔ＼ｎ4得Ｍ因为ｆｓｉｎ0所以［，，＝41ｎ…ｍｏｄｒｅ．？⑷（）…又ａａｒａ＝1￥（ｉ2？⑷，），故＝Ｘ立ｃｏｓ．＝ｎＦｐ（ｎ）ｋｌａＥｌｍ

6、ｏｄｎ．（）【注．＾】本题即为欧拉定理下面考虑ｆｔｃｏｓ的符号只需确定，＝ｋｌＵ接下来再看几个例子．ｘ－■例3设ｎ为正偶数．证明在ｎｎ矩阵ａａａ的数的个数．：，2，，中大于ｉｍ｜＜？？？123Ｔｔｏ…＜ａ＜ａ〈＜ａ＜71？不妨设，2ｍ则234…1－？？￣ｎ＞ｎ－？ａ＞ｎａ＞＞ｎａｍ＞0ｘ2，－ｒａａｌ＜ｉ＜ｍ也构成模／ｉ的缩系．（且；）‘‘？＝－ａ．／ｉａｌＣ＜ｍ而，＿、从ｍ＋1；乂）Ｉ2ｎ－1Ｉ）＂一‘一．．．有中找不到组ｌ2ｒａ

7、不同行且不因此，…，？，，、中恰半大于，，，，其两两｜同列．？注意每个均不为？（）证明反证法．！一2…假设有组1／Ｉ两两不同行且不ＫＩ？？，，，ａ？ａｉｚ☆ｋｋ2＝＿故ｃｏｓ（1〉ｃｏｓＡ同列；ｉｕｏ）了，记这组中的（在第？行ＭＭ71列．则ａｉ分别构成模？的－ｆＪＬ－＿＝ｉ，，．＾（）（，（）＾）另一方面4的一道三角公式与剩余系性质的，根据矩阵特点知【注】这是ａ；＋6ｉ＋ｌ（ｍｏｄｎ）．①综合题关键思想是从整体考虑模／ｉ的缩系产，？＋…“．故ａ1各ｉ忘ｒａ也构成模ｎ的完系