c语言求余运算的剩余系原理

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1、第３８卷第２期湖北大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．３８Ｎｏ．２２０１６年３月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｍａｒ．，２０１６文章编号：１０００２３７５（２０１６）０１０１６８０４Ｃ语言求余运算的剩余系原理１２戴力澄，吴巨龙（１．山东大学信息科学与工程学院，山东济南２５０１００；２．华中师范大学第一附属中学，湖北武汉４３０２２３）摘要：Ｃ语言求余运算的结果有正有负，与余数概念有很大区别．对初等数论中的余数和同余概念进行推广，使得任意非零整数都有一个最小非负完全剩

2、余系，一个最小非正完全剩余系．并且证明Ｃ语言求余运算本质上是不同剩余系下的带余数除法运算．关键词：求余运算；剩余系；带余数除法中图分类号：Ｏ１５６．１，ＴＰ３０１．２文献标志码：ＡＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００⁃２３７５．２０１６．０２．０１４ＴｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍｏｆｒｅｓｉｄｕｅｓｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅｒｅｍａｉｎｄｅｒｏｐｅｒａｔｏｒｏｆＣｌａｎｇｕａｇｅ１２ＤＡＩＬｉｃｈｅｎｇ，ＷＵＪｕｌｏｎｇ（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅ

3、ｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ２５０１００，Ｃｈｉｎａ；（２．Ｎｏ．１ＭｉｄｄｌｅＳｃｈｏｏｌＡｔｔａｃｈｅｄｔｏＣＣＮＵ，Ｗｕｈａｎ４３０２２３，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｌａｎｇｕａｇｅｍｏｄｕｌｏｏｐｅｒａｔｉｏｎｈａｓｂｏｔｈｐｏｓｉｔｉｖｅａｎｄｎｅｇａｔｉｖｅｒｅｓｕｌｔｓ，ｗｈｉｃｈｉｓｖｅｒｙｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｒｏｍｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｒｅｍａｉｎｄｅｒ．Ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｒｅｍａｉｎｄｅｒａｎｄｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅｉｎｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｎｕ

4、ｍｂｅｒｔｈｅｏｒｙｉｓｅｘｔｅｎｄｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｏａｎｙｎｏｎｚｅｒｏｉｎｔｅｇｅｒｈａｓａｍｉｎｉｍｕｍｎｏｎ⁃ｎｅｇａｔｉｖｅｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍｏｆｒｅｓｉｄｕｅｓａｎｄａｍｉｎｉｍｕｍｎｏｎ⁃ｐｏｓｉｔｉｖｅｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍｏｆｒｅｓｉｄｕｅｓ．ＦｉｎａｌｌｙａｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔＣｌａｎｇｕａｇｅｍｏｄｕｌｏｏｐｅｒａｔｉｏｎｉｓａｄｉｖｉｓｉｏｎｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｗｉｔｈｒｅｍａｉｎｄｅｒｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｙｓｔｅｍｓ

5、ｉｎｅｓｓｅｎｃｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｅｍａｉｎｄｅｒｏｐｅｒａｔｏｒ；ｃｏｍｐｌｅｔｅｓｙｓｔｅｍｏｆｒｅｓｉｄｕｅｓ；ｄｉｖｉｓｉｏｎｗｉｔｈｒｅｍａｉｎｄｅｒ０引言［１］［２］［３］求余运算（运算符％）是Ｃ语言、Ｐｙｔｈｏｎ语言、Ｍａｔｌａｂ语言等多种计算机程序设计语言支持的一种基本运算．若ａ，ｂ是两个整数，则ａ％ｂ计算ａ除以ｂ所得的余数．运算法则规定，求余运算的结果与ａ同符号，结果的绝对值为ａ的绝对值除以ｂ的绝对值所得的余数．这样，求余的结果有正有负，例如，８％５＝３，８％（－５）＝３，（－８）％

6、５＝－３，（－８）％（－５）＝－３．这个结果与我们的思维习惯是有出入的，在［４］［５］初等数论教科书或者软件开发实践过程中一般都要求整数除法的余数是非负数，因为－８＝（－２）∗５＋２，一般我们认为余数是２．剩余类是初等数论中的一个基本概念，在代数学领域，整数ｎ的剩余类Ｚｎ［６］［７］具有环的代数结构和群的代数结构，剩余类环在编码等方面也有广泛应用，比如设计不规则重复［８］累计码和低密度奇偶校验码等．事实上程序设计语言中的求余运算法则设计原理也是剩余系概念．下面从剩余系的概念和Ｃ语言设计角度来研究上述问题．收

7、稿日期：２０１５０８１９作者简介：戴力澄（１９９８⁃），女，本科生，Ｅ⁃ｍａｉｌ：１０２０１７３８３９＠ｑｑ．ｃｏｍ第２期戴力澄，等：Ｃ语言求余运算的剩余系原理１６９１剩余系求余离不开整数除法，整数除法有一个基本定理，称为带余数除法定理，转述如下：［４］引理１（带余数除法）若ａ，ｂ是两个整数，其中ｂ＞０，则存在两个整数ｑ及ｒ，使得ａ＝ｂｑ＋ｒ，０≤ｒ＜ｂ成立，且ｑ及ｒ是唯一的．引理要求ｂ＞０，引理说明，除数为正时，存在小于除数的非负余数．对于ｂ＜０也有类似结果．定理１若ａ，ｂ是两个整数，其中ｂ＜０，则存在两

8、个整数ｑ及ｒ，使得ａ＝ｂｑ＋ｒ，０≤ｒ＜｜ｂ｜（１）成立，且ｑ及ｒ是唯一的．定理１的证明作整数序列…，３ｂ，２ｂ，ｂ，０，－ｂ，－２ｂ，－３ｂ，…，则存在一个整数ｑ使得ｑｂ≤ａ＜（ｑ－１）ｂ成立．令ｒ＝ａ－ｑｂ，则ａ＝ｑｂ＋ｒ，显然ｒ≥０，又因为ｒ＋ｂ＝ａ－ｑｂ＋ｂ＝ａ－（ｑ－１）ｂ＜０，所以ｒ＜－ｂ＝｜ｂ｜．下面证明ｑ及ｒ的唯一性．设ｑ和ｒ是满足（１）式的两个整数，则ａ＝ｂｑ＋ｒ，１１１１所以ｂｑ＋ｒ＝ｂｑ＋ｒ