剩余类及完全剩余系.doc

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1、§2剩余类及完全剩余系定义设是一个给定的正整数，表示所有形如的整数组成的集合，则称为模的剩余类.定理1设是模的剩余类，则（ⅰ）每一整数必包含于某一个类里，而且只能包含于一个类里；（ⅱ）两个整数属于同一类的充分必要条件是证（ⅰ）设是任意一个整数，则由带余除法，得，故故每一整数必包含于某一类里.又设且，这里，则存在整数使得于是，但是，故（ⅱ）设是两个整数，并且都在内，则存在整数分别使得故反之，若，则由同余的定义知，被除所得的余数相同，设余数都为，则和都属于同一类.定义在模的剩余类中，各取一数，此个数称为模的一个完全剩余系.推论个整数作成模的一个完

2、全剩余系的充分必要条件是这个整数两两对模不同余.证充分性设是个两两对模不同余的整数.由定理1知，每个整数必在模的个剩余类中某一剩余类里，且只能在一个剩余类里.因是个两两对模不同余的整数，故有定理1得，分别属于不同的剩余类，故是模的一个完全剩余系.必要性设是模的一个完全剩余系，则由完全剩余系的定义得，这个数分别属于不同的个剩余类.由定理1得，两两对模不同余.是模的一个完全剩余系.当为奇数时，是模的一个完全剩余系.当为偶数时，与都是模的完全剩余系.定理2设是一个正整数，都为整数，，若通过模的一个完全剩余系，则也通过模的一个完全剩余系.证设通过模的

3、完全剩余系.下面证明也通过模的一个完全剩余系.根据定理1的推论，只需证明两两对模不同余.因是模的一个完全剩余系，故由定理1的推论得，两两对模不同余.下面用反证法证明两两对模不同余.假设不是两两对模不同余，则其中有两个数对模同余，设，则因，故这与两两对模不同余矛盾.定理3设，而分别通过模的一个完全剩余系，则通过模的一个完全剩余系.证当分别通过模的一个完全剩余系时，共取了个整数值，下面证明这个整数两两对模不同余.设，（1）其中是所通过的模的完全剩余系中的数，由（1）得，，从而.因，故又因是模的完全剩余系中的数，故同理，故当分别通过模的一个完全剩余

4、系时，共取了个整数值，下面证明这个整数两两对模不同余.从而由定理1的推论得，这个整数作成模的一个完全剩余系.定义叫做模的最小非负完全剩余系；当是奇数时，叫做模的绝对最小完全剩余系；当是偶数时，或叫做模的绝对最小完全剩余系.作业P57：1,2,3,4，习题解答1.证明是模的一个完全剩余系。证易知，当时，通过个整数，下面证明这个整数对模两两部同余。设（1）其中则又因，故从而由（1）式得又由得故这个整数对模两两不同余，从而它们作成模的完全剩余系。2.若是个两两互质的正整数，分别通过模的完全剩余系，则通过模的完全剩余系，其中。证因是个两两互质的正整数

5、，故当分别通过模的完全剩余系时，通过个整数。下证这个整数对模两两不同余。设其中是所通过的模的剩余系中的整数，则故这个整数对模两两不同余，从而它们作成模的完全剩余系。3.（ⅰ）证明整数中每一个整数都有而且只有一种方法表示成（1）的形状，其中；反之，（1）式中的每一数都，并且（ⅱ）说明应用个特制的砝码，在天平上可以量出1到中任何一个克（注：原题此处为“斤”）数。证（ⅰ）当分别取时，共取了个整数值，下证这个整数对模两两不同余。设（2）其中则由及（2）式得同理可得故这个整数作成模的一个完全剩余系。因此，在中任取一个整数，存在整数使得由此得(3)因，故

6、（4）又因故，即（5）由（3），（5）两式得从而故整数中每一个整数都有表示成（6）其中。下证这样的表示方法是唯一的。设还有如下的表示（7）其中。则由（6），（7）两式得（8）由（8）式得由及（8）式得（9）由（9）式得同理可得因此，整数中每一个整数都有而且只有一种方法由（6）式表示。从（4）式还可看出，（1）式中的每一数都，并且（ⅱ）用克数分别为的个特制的砝码，在天平上可以量出1到中任何一个克数。对于质量在1到克物体，设其质量为克，由（ⅰ），可以由（6）式表示。把物体放在天平的左盘上，对每一个，若就把质量为克的那个砝码放在天平的左盘上，若就不

7、需要质量为克的那个砝码，若就把质量为克的那个砝码放在天平的右盘上。物体的质量为天平右盘上所有砝码的质量总和减去天平左盘上所有砝码质量总和。4.若是个正整数，分别通过模的完全剩余系，则通过模的完全剩余系。证当分别通过模的完全剩余系时，通过个整数。下证这个整数对模两两不同余。设（1）其中是所通过的模的剩余系中的整数，则因是所通过的模的剩余系中的整数，故（2）由（1）和（2）得同理可得故这个整数对模两两不同余，从而它们作成模的完全剩余系。