第二章第二节完全剩余系ppt课件.ppt

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1、定义1给定正整数m，对于每个整数i，0im1，称集合Ri(m)={n

2、ni(modm)，nZ}。是模m的一个剩余类。剩余类每个整数属于且仅属于某一个Ri(m)（0im1），属于同一剩余类的任何两个整数对模m是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模m是不同余的。完全剩余系定义2设m是正整数，从模m的每一个剩余类中任取一个数xi（0im1），称集合{x0,x1,,xm-1}是模m的一个完全剩余系（或简称为完全系）。模m的完全剩余系有无穷多个模m的最小非负完全剩余系:{0,1,2,,m1}模m的绝对最小完全剩余系:定理1整数集

3、合A是模m的完全剩余系的充要条件是(ⅰ)A中含有m个整数；(ⅱ)A中任何两个整数对模m不同余。讨论：设m>0是整数，{a1,a2,,am}与{b1,b2,,bm}都是模m的完全剩余系，{a1b1,a2b2,,ambm}是不是模m的完全剩余系呢？定理2设m1，a，b是整数，(a,m)=1，{x1,x2,,xm}是模m的一个完全剩余系，则{ax1b,ax2b,,axmb}也是模m的一个完全剩余系。完全剩余系的构造完全剩余系的构造定理3设m1,m2N，AZ，(A,m1)=1，又设分别是模m1与模m2的完全剩余系，则R={Ax

4、m1y；xX，yY}是模m1m2的一个完全剩余系。只需证：若x,xX，y,yY，且Axm1yAxm1y(modm1m2)，则x=x，y=y。推论若m1,m2N，(m1,m2)=1，则当x1与x2分别通过模m1与模m2的完全剩余系时，m2x1m1x2通过模m1m2的完全剩余系。定理5设miN，AiZ（1in），且满足下面条件：(ⅰ)(mi,mj)=1，1i,jn，ij；(ⅱ)(Ai,mi)=1，1in；(ⅲ)miAj，1i,jn，ij。则当xi（1in）通过模mi的完

5、全剩余系Xi时，y=A1x1A2x2Anxn通过模m1m2mn的完全剩余系。只需证明：若xi,xiXi，1in，则由A1x1A2x2AnxnA1x1A2x2Anxn(modm1mn)可以得到xi=xi，1in。定理4设miN（1in），则当xi通过模mi（1in）的完全剩余系时，x=x1m1x2m1m2x3m1m2mn-1xn通过模m1m2mn的完全剩余系。证明对n施行归纳法。例1设A={x1,x2,,xm}是模m的一个完全剩余系，以{x}表示x的小数部分

6、，证明：若(a,m)=1，则关于剩余类的运算如果将模m（正整数）的剩余类看成一个元素，剩余类的相等就可以用同余来刻画。模的剩余类的对同余运算（加法与乘法）作成一个环，称为剩余类环。如果模是合数，那么就有不等于零的剩余类，相乘后为零，即有零因子。当模m为素数p时，上述的环构成一个域。它有p个元素，是有限域的一个重要例子。精品课件！精品课件！例2设p5是素数，a{2,3,,p2}，则在数列a，2a，3a，，(p1)a，pa中有且仅有一个数b，满足b1(modp)。此外，若b=ka，则ka，k{2,3,,p2}。例3(Wilson定

7、理)设p是素数，则(p1)!1(modp)。