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1、22.2解一元二次方程（公式法）教案教学内容1.元二次方程求根公式的推导过程；2.公式法的概念；3.利用公式法解一元二次方程.教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0QHO）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.重难点关键1.重点：求根公式的推导和公式法的应用.2.难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导.教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7
2、x+1=0（2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-171二次项系数化为1,得：X2—x=—667717配方，得：X2—x+（―）2二-一+（―）2612612,7、225（X-——）=121447_5577+5、1212121212577-51x°二一——+—==—'1212126（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）.（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一•半的平方；（4）原方程变形为（x+m）$二n的形式；（5）如果
3、右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解.二、探索新知-b+Jb?-4oc2a如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0QHO),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成卜•面这个问题.问题：已知ax'+bx+cn(aHO)且1?-4恥30,试推导它的两个根X〕二-b-yjb2-4ac分析：因为前而具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个貝体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项,得：ax2+bx=-c二次项系数化为1
4、,得x2+-x=--aa配方，得：X2+—x+(—)2=-£+(—)2a2aa2annzb、2b2-4ac2a4/VbMac^O且4用＞0.b2-4ac•4/+丄亠mbt-4acH接开平万，得：x+——二土2a2a....-b±lb2-4ac即x=2a-b+jb2-4ac-b-y/b2-4ac••Xi二，X2二2a2a由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax'+bx+c二0,当b-4ac20时，将a
5、、b、c代入式了*"士％士£就得到方程的根.2a(2)这个式了叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1・用公式法解下列方程.(1)2x2-4x-1=0(2)5x+2=3x2(3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.解：(1)a=2,b=-4,c=-lb2-4ac=(-4)2-4X2X(-1)=24>0-(-4)±a/244±2
6、&2±V6"2x2_4_22+V62—V6・・Xi=,x2=22(2)将方程化为一般形式3x2-5x-2=0a=3,b二-5,c=-2b2-4ac=(-5)2-4X3X(-2)=49>0-(-5)±V495±7x二=2x361X
7、=2,X2=-一~3(3)将方程化为一般形式3x2-11x+9=03=3,b二Tl,c二9b2-4ac=(-11)2-4X3X9=13>0.-(-H)±V1311±V13…x==2x3611+VI311-V13.*.X
8、=,X2=6「6(3)a=4,b=-3,c=lb2-4ac
9、=(-3)2-4X4Xl=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根.三、巩固练习教材円2练习1.(1)、(3)、(5)四、应用拓展例2•某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)Zr+2+(m-2)x-l=0提出了下列问题.（1）若使方程为一元二次方程，ni是否存在？若存在，求出m并解此方程.（2）若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在，请求出.你能解决这个问题吗？分析：能.（1）要使它为一元二次方程，必须满足i『+i二2,同吋还要满足（m+l）HO.（2）耍使它为一元一次方程，必须满足
10、：①严日（加+1）+（加一2）H0或②m2+1=0或③解：（1）存在.根据题意，得：m'+l二2m2=lm二±1当m二1时，m+l=l+l二2H0当m=T时,m+l=-l+l=O（不合题意,舍去）当m=l时,方程为2x2-1-x=0a=2,b=-l,c=-lb2-4ac=（-1）2-4X2X（-1）=1+8=9-（-1）±V91±3x二=2x241X］二,x?=-—-2因此，该方程是一元二次方程时，m二1,两根X
11、=l,X2=_—•2（2）
