第一节求函数单调区间

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1、函数与导数综合题叶小劲第一节(含参)函数单调性讨论或求单调区间讨论函数单调性或求函数单调区间是函数导数综合题主要考向，主耍考查分类讨论思想，难点、关键点在于如何确定分段点，根据解题实践总结出以下几种方法：等根法、定义域法、值域法、将错就错法、一元二次方程根分布法、数形结合法。函数单调性是函数的主体性质，是解决其它问题的前提与保障。如果不会研究函数单调性，就入不了函数之门；如果不会分类讨论，就不能把函数学活，故必需掌握如何讨论函数单调性。、等根法例1>讨论函数/(X)=—X3+—(1-«)x2-6TX+1的单调性。32【分析】/J)=(x

2、+1)(兀—a)，方程/z(x)=0的根为xl=-l,x2=a，若=x2得°=一1,故可分①qv-1；②a=-1；③a>-l三种情况讨论。此法我们称为“等根法”，此处的a=—1即为分段讨论点。巩固练习：1、讨论函数/(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]『的单调性。2、讨论函数/(x)=丄戶一@+])夕*处_]的单调性。二、定义域法例2、讨论函数/（x）=x2-（a+2）x+aln兀,agR的单调性。【分析”。严心）,方程宀=。的根鮎十亠『等根法”x2得。=2分段点。函数的定义域为（0,+oo）,下界为0,无上界，由彳=0得。=0又一

3、分段点。这样可分①②。=0；®00)，讨论/(兀)在[2,3]±的单调性.三、值域法例3、讨论函数

4、/(x)=In(护+l)-ax的单调性。【分析】厂匕)=-——a,由g(x)=^—值域为(0,1)nJ*分①67

5、2°2a1-Jl-2d~2a而这两根有意义的前提是吨且"。,这显然是错误的，但也帮助我们找到分段点g二0卫二丄。可分①a<0；®a=0；®01吋/+1-a兀=ln厶无意义，故可分①qSO；②Ovavl；③ahi三种情况讨论。-a巩固练习：1讨论函数f(x)=ex-ax的单调性。1—x2、讨论函数f(x)=ln(Qx+1)+——>0o1+X五、判别式法或一元二次方程根分布法例5

6、、讨论函数f(x)=ax2-x-^x的单调性。■八丄L■/Z、2(7X2—X+1.冲,、2t7%2—X+1(、E・Grr7■八【分析】/(x)=、由/(x)==0,得方#呈-兀+1=0,XX此方程的根分布情况如何与分段点a=O,a=-有关，它是由二次项系数和判别式得出的。8可分①a=0(一个根)；②a<0(一正一负根)；@0-(无实根)。我们把此法称为“判别式法或一元二次方程根分布法”。8巩固练习：1、讨论函数f(x)=丄F+(°+3)x-aInx的单调性。22、讨论/(兀)=

7、丄ax2-(a+3)x-lnx®数。223、已知函数f(x)=x一一+d(2—lnx),(G〉0)，讨论/(兀)在［1,4］上的单调性.六、数形结合法例5、讨论函数f(x)=xx-a的单调性。【分析】函数f{x)=xx-a的零点是x=0,x=6z,其图象为:从图形是很直观地看出单调区间。此法我们称为“数形结合法”。巩固练习：1、讨论函数f(x)=x(x-l)x-a的单调性。2、讨论函数f（x）=x%2—(a_1)兀一ci的单调性。高考选练1、求函数f（x）=xekx的单调区间;2、设函数f（x）=ax2+bx+k伙〉0）在x=0

8、处取得极值,且曲线y=/（x）在点（1J⑴）处的切线垂直于直线x+2y+l=0。若函数gd）=—J,讨论gCr）的单调性。3、已知Q>0,且GH1函数/（x）=logjl-tzv）O（I）求函数/（X）的定