2017学年八年级数学下册4.1函数和它的表示法例题与讲解素材（新版）湘教版

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1、函数和它的表示法1．函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数．其中x是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区自变量与另一个变量的对应关系若y是x的函数，当x取不同的值时，y的值不一定不同．如：y＝x2中，当x＝2，或x＝－2时，y的值都是4.【例1－1】下列关于变量x，y的关系式：①x－3y＝1；②y＝

2、x

3、；③2x－y2＝9.其中y是x的函数的是(　　)．A．①②③　B．①②C．②③　D．

4、①②解析：本题主要根据函数的概念，紧扣函数的定义，即对于每一个自变量x都有唯一确定的y值与之对应，否则就不是函数关系．对于x－3,y＝1和y＝

5、x

6、，由函数的定义可知，对于每一个x值都有唯一确定的y值与之对应．符合函数的定义，但对于2x－y2＝9，则不符合上述关系，故y不是x的函数．答案：B【例1－2】已知y＝2x2＋4，(1)求x取和－时的函数值；(2)求y取10时x的值．分析：(1)把自变量x的值代入函数关系式，求代数式的值即可；(2)把y的值代入函数解析式后，解方程即可．解：(1)当x＝时，y＝2×2＋4＝；当x＝－时，y＝2×2＋4＝

7、.(2)当y＝10时，2x2＋4＝10，解得x＝±.谈重点函数中变量的对应关系当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式．谈重点函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y＝x＋1是表示y是x的函数．若

8、写成x＝y－1就表示x是y的函数．也就是说：求y与x的函数关系式，必须是用只含变量x的代数式表示y，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y，右边是含x的代数式．【例2】已知等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边上的高为6，若把面积y看做腰长x的函数，试写出它们的函数关系式．分析：要求三角形的面积，必须先求出底边长．解：∵底边长为36－2x，∴y＝×(36－2x)×6，即y＝108－6x.3．自变量的取值范围(1)使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围．(2)自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．

9、当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为0；其次，当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值还必须使实际问题有意义．【例3】若等腰三角形的周长为50cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，y与x的函数关系式为y＝(50－x)，则变量x的取值范围是__________．解析：根据三角形三边之间的关系，必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．答案：0＜x＜254．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：

10、列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示．(1)列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法．(2)图象法：通过建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法．(3)解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法，这样的式子称为函数的解析式．析规律函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点，应用时要视

11、具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示．【例4】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就

12、下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上