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《2016北京大学金秋营数学试题（部分含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2016年北京大学优秀中学生数学金秋营试题学科专业能力测试一第一天2016年10月14B下午14:00—17:301、在AABC内部有一点P满足ZPAB二ZPCB二仝竺，L在AC上且BL平分ZABC,4延长PL交AAPC的外接圆于Q。证明:BQ平分ZAQC.2、对于｛1,2•…，21订的一个排列｛5卫2,・・・，3訥1上2,・・・，bn｝定义函数f(alfa2t...,anbib2>...,bn)=SbT]1
2、ajbj-ai+1bi+11.求所有的排列中，f(ag,...,an(bLb2i...,bn)的最小值。3、求所有正整数a,b,c满足
3、对任意实数u,v,OWuVvWl.存在正整数n,使得｛Van2+bn4-c｝丘(u,v)成立.4、设p为奇素数，p^Kmod4).正整数a,b满足a2-pb2=l・设q也为奇素数，(q,bp)=l.考虑同余方fSx4-2ax2+l=0(modq)•证明下述3个论述等价:(1)P为模q的二次剩余；(2)同余方程存在一个解；(3)同余方程存在四个互不相同的解。学科专业能力测试二第二天2016年10月15日上午09:00-12：005、设函数f(x)=^=0ajx1,且xG［-l,1］时，
4、f(x)
5、W1,求la?］的最大可能值。6、一个班里有50
6、人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k,都存在正整数n,使得an+2016是一个正整数的k次方。8、对（0,1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0,1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？【部分试题参考解答】第6题参考解答题目一个班里有50人,相互之间发短信若在三个人A、B、C之间，仅有A给B发过短信,
7、B给C发过短信,C给A发过短信贝U称A、B、C三个人构成一个“循环”一试求这50人中“循环”个数的最大可能值屮这个题是下面两道竞赛题弦变而来的：「竞赛题1（2006年加皇炖学奥林匹克）一次循环赛中有加+1支参寒队，其中每队与其他队都只打一场比赛,且比赛结果中没有平局一若三个队X、Y、Z满足:X击败YY击败Z,Z击败X,则称他们形成一个环形三元组一求环形三元组的最犬可能数目*竞赛题2（2007年意大利匡塚队槪考试題）在_次有2n+lg队参扣的比赛中:每个队都与其他的队进行了一场比赛:且每场比赛必有一个队胜出•如果A胜B,B胜C,C又胜了A,则称
8、3个队组成的集合｛A.B.C｝为“循环的”.求循环的集合的个数的最大值屮解答首先将刃改为一般的2弘考虑到A3,C三个人之间发短信可形成ZB4C,我们称如图1与图2中的角为“坏角3團3中的角为“好角”屮由于A、B、C三个人构成一个“循环”有3个好角:构成一个“非循环”有1个好角,2个坏角-设一人发短信上次贝」收短信可有2n-l-k次:可产生k（2n-l-k）＜n（n-1）个好角-若2”个人有/个“循环”，则好角个数为:37+C^-Z＜2«-n（n-1）*所以甘心-1）叶1）＜3在2〃个人中,对任意的心123…2比当4恰给4小…一£发短，同时4+
9、z4+z…二十如（这里4=禺血）给4发短信时,1达到最犬值7_刃（总-1）（巾+1）J*2fix—T3特别地:当刃=50时,L=41650屮第7题参考解答试求所有正整数4使得对任意正整数k,都存在正整数n,使得an+20161—个正整数的k；欠方。(2016年北京犬学金秋营试题)a解答：我们即要求所有的正整数4使得对任意正整数k,都存在整数x,満足汕三2016(moda)oa—方面,若a
10、2016x2015o设(a,2016)=u,(a,2015)=v,贝ija=uv,(u,v)=1,2016三0(modu),2016=l(modv)o此时汕
11、三2016(moda)o严三/„三2016(modu)fxk=0(modu)xk三2016(modv)°同余方程鶯::驚鸟有整数解,这样的卿満足壮k订人、。根据中国剩余定理，xK=l(modv)x^=0(modu)故这样的玄都満足条件。斗xk=l(modv)另一方面，若a12016x2015,则必存在一个素数p,使得vp(a)>vp(2016x2015)o设vp(a)=a,则2016壬0、l(modpa)<>注意到pa
12、a。故若三2016(moda),则必有x*三2016(modpa)o“取k=a•(p(pa)=apP7(p一1),则对任青x
13、eZ,都有x01严@亠=岁弩叮,gPJX11(modpa),3pli于是知方程xa严(P“)三2016(modpa疣整数解。从而方程xa严(P-】〕三2016(mo
