几何论的创立与发展

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1、集合论的创立与发展姓名：李菲菲数学科学学院2010级6班集合论自19世纪70年代由德国数学家康托尔（G.Cantor1845-1918）创立以来，不断促数学分科的发展，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分科的研究对彖或者木身是带冇某种特定结构的集合或者是可以通过集合來定义的（如实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础，是数学屮最富创造性的伟人成果之一。康托尔集合论的全部丿力史都是围绕无穷集合而展开的。［1］在数理祈学小，有两种无穷方式历來为数学家和哲学家所关注，一种是潜无穷，-•种是实无穷。希腊哲学家亚里士多德最先提出

2、要将它们加以区别。公元5世纪，普罗克拉斯（410-485年）在研究肓径分圆问题时，注意到圆的一根氏径分関成两个半阴I，由于直径冇无穷多，所以必须冇两倍无穷多的半闘。12］到中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成，-一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。伽利略（1564-1642年）注意到：正整数与它们的平方可以构成-一对应，这说明无穷人有不同的“数量级”。十七世纪,无穷小量被引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。山于无穷小量运算的引进，“无穷”概念进入数学，虽然给数学带来了前所未有的进步，但基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑。

3、“数学家Z王”高斯（1777-1855年）说：“我必须最最强烈地反对把无穷作为一完成的东西来使用。”法国大数学家柯1789-1857年）也不承认无穷集合的存在，他认为部分同整体构成一一对应是白相矛盾的。而对“无穷”的长期挑战，数学家们为解决无穷问题而进行了不懈的努力。1854年，黎曼在论文《关于用三角级数表示函数的町能性中》首次提出“唯一性问题”。康托尔就是通过对“唯一性问题”的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。集合论产生的背景及其创立1811年，法国数学家傅立n+（Fourier）发表了他的《关于热传导问题研究》的论文,文屮应用将函

4、数展为三角级数的方法-•举解决了当时物理界提出的热传导的大课题。由于将任意函数展为三角级数的概念和方法具有巨大的理论意义和实用价值，因此被认为是数学史上“最辉煌的成就乙一”。康托止是从研究把函数表达为三角级数的唯一性的判别问题而提出集合论的。把函数展为傅立叶级数的收敛性，以及密切相关的分析基础严密化的研究，都归结到建立实数理论问题，这需要彻底弄清实数的结构和性质，包括对数系的理解和数集概念的建立等。早在1870年、1871年和1872年，康托先后三次发衣论文，证明了函数的三角级数衣示的唯一性定理。为了描述某种无穷集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集

5、和导集的导集等重要概念——这是从间断点这一特殊问题的探讨转向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。1873年康托尔把导致集合论产生的问题明确捉了出來：」E整数的集合（N）与实数的集合（R）之间能否一一对应？并于同年成功地证明实数的“集体”不可数，也就是不能同正整数的“集体”一一对应。1874年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，捉出：“所谓集合，是把我们的岂观或思维中确定相互间有明确区別的那些对彖（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑。”他还指出，如果一个集合能和它的一部分构成一一对应，

6、它就是无穷的。在论文中还证明了无穷集Z间的差别，那就是既存在可列的无穷集，也存在像实数集那样不可列的无穷集。他引进了集合的势（也称基数）的概念，随麻又对这一•概念进行了深入的研究，引进了基数为序数理论，他还极富创建性地提出了超限:基数和超限序数。他乂给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念：两个集合只有当它们的元素Z间町以建立一一对应时才称为是等价的，这样就第一次对各种无穷集合按他们元素的“多少”进行了分类。他又提出了“可数集”概念，并以一一对应为准则对

7、无穷集合进行分类，证明了一些重要结果：（1）一切代数是可数的；（2）任何有限线段上的实数是不可数的；（3）超越数是不可数的；（4）一切无穷集并非都是可数的，无穷集同有穷集一样也有数量上的区别。它在数学上的主耍成果是引进超穷数。从1879年到1883年，康托尔写了6篇论文，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些应用。它在数学上的主要成果是引进超穷数。该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。该文从内容到叙述方式都与现代的朴素集合论基本一致，标志着点集论体系的建立。康托尔最后一-部重要的数学著作是《对超穷集合论基础的

8、贡献》。该