黎曼几何的创立与应用.pdf

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1、黎曼几何的创立与应用摘要本文首先追溯了黎曼几何创立的过程，探讨了在非欧几何建立的大前提和物理、哲学思想启发下黎曼的几何思想萌芽；其次探讨了黎曼几何的发展及其在爱因斯坦广义相对论理论中的重要应用；最后总结了黎曼几何的创立及应用对现代数学研究的启示。关键词非欧几何黎曼几何广义相对论学科交叉数学研究一、非欧几何的产生自从公元前3世纪欧几里得著述《几何原本》，它所构建的几何体系就一直被认为是“物质空间和此空间内图形性质的正确理想化”[1]，它代表着人们直观而先验式的数学观。2000年来许多数学家以欧氏几何公理为基础在其上建

2、立起了数学的大厦。然而在此期间数学家们一直对一个问题耿耿于怀，这个问题来自欧几里得的第五公设（也称平行公设）。第五公设：当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个同侧内角的和小于两直角，则这两条直线适当的延长后就在同侧的内角和小于两直角的那一侧相交。它的叙述过于冗长和复杂，这与数学简明之美是不相称的。而且欧几里得本人似乎也不太喜欢它，他在“证完了不需要平行公设可证的所有定理之后”才开始使用平行公设。[2]因此在欧几里得以后的每个时代里，各国的数学家中都有人试图寻求一个更加自然的公设来代替它或者通过证明第五公设来实现

3、“排除任何谬误的欧几里得”，而非欧几何的发展就在数学家们试图证明欧氏几何的真理性中开始了。在许多数学家的各种努力尝试中，萨凯里、克吕格尔、兰伯特等人的研究走到了一个关键的地方：“一种假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何”[3]他们算是非欧几何的先行者。真正突破欧氏几何束缚的是高斯，小包耶和罗巴切夫斯基。高斯最早认识到存在非欧几何，然而因为不想受到攻击他并未声明。在高斯去世后整理出的与朋友的通信中，人们才了解到他的想法。小包耶在独立工作得到非欧几何体系后将成果发给高斯。在这个年轻人急于得到高斯肯定时，却收到

4、高斯“赞扬他等于赞扬我自己”的回复，从而在数学研究的道路上受挫，也未能将自己的发现公诸于世。在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴切夫斯基最早，最系统的发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己新思想的一位。尽管的确遭受到了高斯所预料的“波埃提亚人的叫嚣”，种种排挤打压之下，他仍然坚信自己新几何学的正确性。他的精神令后人敬佩。二、黎曼几何的创立在非欧几何产生之后，欧氏几何变成了许多几何中的一个。因此人们对它是否是宇宙空间本身的几何也产生了疑问。这个疑问推动了19世纪重大创造之一——黎曼几何的产生。黎曼是高斯在

5、哥廷根的学生。他英年早逝，著述不丰，一生发表的论文包括博士论文、就职论文、就职演说一共只有18篇，然而几乎每一篇论文都在历史上留下痕迹。1851年他的博士论文《单复变量函数一般理论之基础》得到高斯极少见的高度评价：“黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题作了全面深入的研究，作者具有创造性的、活跃的、真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力。”1854年为了在哥廷根取得大学讲师的职位，黎曼需要提交一篇“就职论文”，为此他完成了《论用三角级数表示函数》，此文不单是三角级数中奠基性的巨作，而且

6、黎曼积分的概念也在此文中提出。按照规定，黎曼还需要完成一篇“就职演说”，他向高斯提交了三个题目。相较于第三个，对于前两题他有相当的准备，然而他的第三个题目正是高斯有极大兴趣的几何基础方面的问题，高斯想在这个问题上看看这位年轻人的想法。于是黎曼不得不赶在七个星期之内完成了这篇数学史上最引人瞩目的一篇就职论文，标志着黎曼几何学创立的空前巨著《论作为几何基础的假设》。为使那些哲学系的教授也能听懂，黎曼通篇只用了一个数学公式，整个演讲充满哲学味道。[4]在讲稿的开篇，他提出了n维流形的概念。“我首先要从一般「量」（quan

7、tity）的观点建立「多元延伸量」的概念。我将指出，「多元延伸量」是可以容纳不同度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉，几何学中的定理并不能由「量」的一般概念中导出，那些能将空间从其它可想象的三元延量中区分出来的性质，只能由经验得出。”[5]他在头脑里已经把n维流形设想为在局部上与n维欧氏空间相仿的对象，其中每一个点都可以用n个有序实数的组x=(x1,⋯,xn)来描写。所有这种可能的点的总体就构成n维流形本身，正如在一个曲面上的点的全体构成曲面本身一样。当这些??连续变化时，

8、对应的点就遍历这整个流形。[6]演说的第二部分论述了有关流形度量关系的思想，即一种不需依赖欧氏空间的平直结构即可确定流形上一条曲线长度的方法。这是仅有的涉及数学公式的一部分。黎曼的基本假设以高斯早些时候的著作为基础，他将曲线上无穷小距离元素ds表示为dx?的齐次正定二次函数的平方，即nnds2=∑∑gdxdxijijij这里???=???，且任一???为流形