专题10集合论的创立与发展

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1、专题10集合论的创立与发展教育硕士林清峰19世纪,由德国数学家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合论是关于无穷集合与超穷数的数学理论，是人类思想史上最伟大的创造之一。一、无穷是什么？神秘莫测的，无边无际的，苍穹一样的迷人的，……诗人，作家，艺术家，神学家，科学家数学家从一粒沙子看世界，从一朵野花看苍穹，把无穷掌握在你的手中，把永恒掌握在顷刻之中。威廉•布莱克（WilliamBlake）英国著名诗人诗作《天真的预言》（节选）无穷是什么？数的概念演进经历四次飞跃：区别一与多区别少数与大数区别有穷数与无穷数区别无穷

2、数的不同层次每一次飞跃代表对数、对无穷的新认识。无穷是什么？阿基米德（Archimedes287-212B.C.）在《数沙者》（TheSandReckoner）中定出一种计算地球上所有海滩上的沙粒数目的方法，从而纠正了认为海滩上的沙粒数目是无穷的想法。无穷是什么？二、关于无穷集合的早期认识希腊人通常认为无穷是不能接受的概念，它是一个不着边际且不确定的东西。亚里士多德（Aristotle，384～322B.C.）潜无穷与实无穷地球的年龄正整数整数两种无穷观亚里士多德在他的《物理学》中得出的结论是：“可选择的是无限具有潜性的存在…

3、…不会存在实无限。”他坚持认为数学中不需要后者。关于无穷集合的早期认识无限——悖论栖身之处亚里士多德只承认有穷数的存在。他和经院哲学家们使用的一个典型论据是，如果承认无穷，就会导致有穷数的“湮灭”。普洛克鲁（Proclus，410～485A.D.）伽利略（Galileo，1564～1642）《两门新科学》(1638）“所有无穷大量都一样，不能比较大小。”关于无穷集合的早期认识许多数学家像谈论数一样谈论无穷，却并没有弄清它的概念或确定它的性质。欧拉《代数学》(1770年)1/0是无穷大（而他并没有定义无穷，只是用符号表示它）2/

4、0关于无穷集合的早期认识笛卡尔说过：“无穷可以被认知，但不能被理解。”高斯在1831年写给舒马赫的信中说：“我反对把无穷量作为现实的实体来用，在数学中这是永远不能允许的，无限只不过是一种说话方式，我们所说的极限是指，某些比可以随意地接近它，而其他的则被允许无界地增加。”关于无穷集合的早期认识柯西（Cauchy,Augustin-Louis1789—1857）拒绝承认完成的无限集合的存在，其根据就是有这类悖论：一个完成的无限集合能与其本身的真正部分建立一一对应。有限集合大小的比较“整体大于部分”《欧几里得》十条公设最后一条计数的

5、根据波吕斐摩斯的故事利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记载之一。《荷马史诗》记载荷马（Homeros)约9-8B.C.古希腊诗人有限集合的早期认识当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。结绳记数成为人类早期表示记数的方法图：日本琉球群岛的结绳三、无穷集合论的创立波尔查诺（B.Bolzano，1

6、781～1848，捷克）《无穷的悖论》（1851）实无穷集合两个集合等价的概念，即后来叫做两个集合元素之间的一一对应关系，适用于有限集合，也适用于无限集合无穷集合中部分或子集可以等价于整体对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数，但他认为对于超限数无需计算，所以不用深入研究它们。无穷集合论的创立为了说明这种等价关系的真实存在，他举出了大量实例.例如，在实数集[0，5]与实数集[0,12]之间可以建立1—1对应关系无穷集合论的创立直到19世纪上半叶，虽然数学家要处理无穷集合，例如无穷级数、实数、自然

7、数，等等；但是，他们一般都避开存在完成的集合的假定后面的麻烦问题。无穷集合论的创立康托集合论的起源19世纪,分析的严密化使人们必须考虑，收敛的无穷级数（有一个有限和）和那些发散级数的区别。在这些级数中，三角函数的无穷级数，即以傅立叶命名的傅立叶级数，起了极其重要的作用。无穷集合论的创立傅立叶（J.B.J.Fourier，1768～1830，法国）1807年“对任意给定的函数都可以用一具有特殊类型的系数的三角级数表示”被称为傅立叶级数成为数学分析与数学物理中强有力的工具,但在当时被认为是缺乏严格性的。无穷集合论的创立“集合论，至

8、少部分是起源于黎曼（Riemann）等人对于三角级数丰富的研究以及对不连续函数的分析。狄里克莱（Dirichlet）,李普希兹（Lipschitz），汉凯尔（Hankel）等人都对探索三角级数问题时引进例外点集，但主要是因为他们大体上是在三角级数的范围内考虑问题，虽然所作的大