例析求动点轨迹的另两种思路

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1、例析求动点轨迹的另两种思路《数理化解题研究)zoo9年第J2期数学篇5哈尔滨阿城二屮(150300)李艳波•岳启迪・，引参法当动点P的坐标与Y之问的直接关系难以建立时,可先分别找,Y与另一参变量t之间的关系式，建立起参数方程r然后消去参数£，得到tYgLt?与Y的直接关系的方程F(,Y)=0,即为动点P的轨迹方程.解题的关键是如何选择参数.常用的参数有角参数，斜率参数后，线段参数等.例1线段AB的长为口，点P在AB上,口满足AB二2PB,当点在轴上滑动，点在Y轴上滑动时,求动点P的轨迹方程.是{H-^asi^nOc为参数？图1消去参数，有(警)+()=1,从

2、而得动点p,n„zo,的轨迹方程是+：i・o斗口二,复数法由于复数的运算具有几何意义:加减法是图形的平移,乘除法是图形的旋转和伸缩，因此，动点问题，可借用复数的运算来表示.例2已知点曰(m,0)(m>O)为定点，点以沿抛物线Y=2移动，若以为直角顶点，AB为一条直角边，作等腰直角AABC,求动点C的轨迹方程.简析如图2,设点A对应ADB(m,O)图2的复数为==2.t+2pti,点C的坐标为(,Y),则有[2pt一m)+2pti](±i)=(一，孔)+yi・fx—m二一2ptv?■lY:2t,f2一m.或{),x:-m—=(2p2pt一m).消去参数

3、t得(一m)=2p(),+m)或(一m)=—2i,(Y一lrb).例3己知抛物线Y二+1,定点(3,1),为抛物线上任意一点，点尸在线段肚上，且:PA=1:2,当点在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程,并指出轨迹是哪种曲线.简析本题的通常解法是设点，由定比分点坐标公式,用转移法求点P的轨迹.若把线段向量化，利用复数的几何意义求解，简单明快，别具一格.如图3,由条件可得PA二2•设P(,Y),・)，0,图3B(-l,Yl)(,y,YlER),贝4可得(3—)+(1—,,)i=2[(-Y+l)+(,,—Y)i].由复数相等的充要条件得1[22y〜二:33),X-

4、1，消去），得P的轨迹方程为（y一*）=（一一）.轨迹是以'了1,71）为顶点,一为对称轴丄一）为焦点的抛物线.例4已知I=TABCD中，顶点A（0,0）,（4,3）,点P内分对角线AC所成的比为2,当点D在以A为圆心,3为半径的圆上运动时，求点P的轨迹.解析复数的模具有鲜图4明的几何意义一一复平面数对应向量的长度.联系到6数学篇《数理化解题研究~2oo9年第期解儿知识容易得到圆，椭圆，双曲线的复数方程.因此通过复数的模求轨迹是一种重要方法.此题视坐标平面为复平面(如图4),则已知圆的方程为=3.设点,C,D,P对应的复数分别为,c,22D,・由题设得：,)

5、口=4一3i,P=,3—.zc,c=ZB+..,■9=■3(4—3i),则一(睾一2i).两边取模得J-(8/3—2i)『=2•可见点P的轨迹为以(8/3•—2)为圆心,2为半径的圆.其标准方程是f一睾y+(y+2)=4.22例5已知P为椭圆争+二1上任意一点，以0P为边逆时针作正方形，当点P移动时，求动点R的轨迹方程.解建立复平面，设P,R对应的复数分别为z.由题设得:二一zRi.由椭圆定义有IP一2I+IP+2I二6J.1—Ri—2I+I—Ri+2I二6,即fR+2if+f.R一2il二6.22故所求轨迹方程为+等二1・甘肃省会宁四中(730700)李安

6、成•有些最值问题，若恰当地构建向量模型,借助向量的一些性质，常常会使复杂的问题变得简单，使繁琐的解题过程显得巧妙流畅.例1求函数Y=—6+lo++6x+25的最小值.解将函数变形为),=+,•设m=(3一,1),,1=(+3,4),贝4),=~/(3—)+1+~/(+3)+4二1小1+1,11^Im+,11二二,当且仅当m〃,l且方向相同，即号=1,得二时，取7号.所以当二詈口寸,Yi二_・例2求),二,/5—4x一+2x+6的最大值.解将函数变形为),=,/9一(+2)+2(+2)+2.设m=(l,2),,l=(〜/9一(+2),+2),贝0y/9一(+2

7、)+2(+2)+2二m?,l+2WlmII,lI+2=+2.当且仅当J,l〃n且方向相同，即==:,/9一(+2)图5，得=一2时,),…二+2.例3求函数Y=3,+的最大值.解将函数变形为),二3/-z,/~+2.+_.设m=(,l),(厢，厉)，则二肺+=m?,lWlmIInI=当且仅当〃,1且方向相同，即二署时,)，何.例4设0&g(;b&g(;c>o,.H.十土上L恒成a一oo一C口一C立，求d的最大值.解劭氏二赤).由ImII,lI^(m?,l),得[(n—6)+(b—c)](+)+1)+14当且仅当坍,刀共线，即2b=D+c时，取号.所以d

8、的最大值为5.例5设,YER,_a+2y=10,求函