概率论与数量统计知识点复习

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1、全概率公式和贝叶斯公式定义:设S为试验E的样本空间，为一组事件，若满足则称为样本空间S的一个划分。定理：设S为试验E的样本空间，为S的一个划分，且则对任意事件A有称为全概率公式(1)称为贝叶斯公式(2)2021/10/91三种常见离散型随机变量的分布律1、(0-1)分布若随机变量X的分布律为：称X服从(0-1)分布,即XP011-pp2、二项分布在n重伯努利试验中，以X表示事件A出现的次数，则X是一个随机变量，且X取值为0,1,2…,n,称X服从二项分布，记为2021/10/923、泊松分布如果X的分布律为：记为其中是常数，则称X服从参数为的泊松分布。2

2、021/10/93分布函数与密度函数定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数F(x)=P{X≤x},-∞

3、连续型的边缘概率密度及相互独立的随机变量的判断设的概率密度为的概率密度为类似，的概率密度为分别称和为关于的边缘概率密度。2021/10/99定义：设和分别是的分布函数及边缘函数，若对任意x,y有则称X和Y是相互独立的。当是离散型随机变量时，和独立的条件当是连续型随机变量时，和独立的条件2021/10/910三个重要积分2021/10/911常见分布的期望和方差分布指数分布2021/10/912协方差常用计算公式方差常用计算公式：相关系数若X与Y的相关系数，则称X与Y不相关.注：X与Y不相关X与Y独立2021/10/913切比雪夫不等式或设随机变量X的期望

4、为E(X)，方差为D(X),则下列不等式成立：随机变量序列的依概率收敛的定义记为成立，则称序列{Xn}依概率收敛于a设X1,X2,…Xn…是一个随机变量序列，如果存在常数a，使得，总有2021/10/914则独立同分布的中心极限定理或设X1,X2,…Xn…是一个独立同分布的随机变量序列，且2021/10/9151.定义：设X1,X2,…,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称服从自由度为n的分布,记为(一)分布（二）t分布1.t分布的定义定义：设且X,Y独立，则称服从自由度为n的t分布(学生分布)。记为2021/10/916（三）F分布定义：设且X,Y独

5、立，则称1.F分布的定义服从自由度为的F分布。记为若则2021/10/917定理1：设总体X的均值为，方差为，取自总体X的是样本，及是样本均值和样本方差，则有有关及的几个重要结论（复习）定理2：设是来自正态总体的样本,给定和是样本均值和样本方差，则有(1)与相互独立;2021/10/918则当X的k阶矩存在时令设总体为X，X1,X2,…,Xn是X的一个样本，矩估计法2021/10/919最大似然估计法1.X为离散型随机变量，分布律为X1,X2,…,Xn是X的一个样本x1,x2,…,xn是相应于此样本的一个观察值称为似然函数。取使得：此时的取值作为的估计值

6、。称值为参数的最大似然估计值。则称统计量为参数的最大似然估计量。2021/10/9202.总体X为连续型随机变量概率密度函数为：设是来自总体X的样本；是一个观察值。则随机点落在点的邻域，即体积微元，边长分别为的n维立方体内的概率近似为由于不随变动，所以只要考虑称为似然函数。和离散型类似，取的估计值使得以上概率取得最大。称统计量为参数的最大似然估计量。称值为参数的最大似然估计值。2021/10/921无偏性则称是的无偏估计量。定义：若估计量的数学期望存在，且对于任意有有效性则称较更有效。定义：设与都是的无偏估计量，若对任意都有2021/10/922单个正态

7、总体的双侧置信区间1、均值的置信区间(1)为已知,置信区间为(2)为未知,置信区间为2、方差的置信区间当μ未知时,置信区间为2021/10/923单个正态总体的单侧置信区间1、均值的单侧置信区间(1)为已知,置信上限,下限(2)为未知,置信上限,下限2、方差的单侧置信区间当μ未知时单侧置信上限为单侧置信下限为2021/10/924正态总体均值的假设检验单个总体均值的检验1、已知关于的检验(Z检验法)统计量为拒绝域拒绝域拒绝域总体为已知，是来自X的样本，给定显著性水平。2021/10/925拒绝域拒绝域拒绝域2、未知关于的检验(t检验法)统计量2021/1

8、0/926拒绝域为:单个总体方差的检验(检验)(1)提出假设:(2)统计量:(3