概率论与数理统计c

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1、一、概率概率是刻划随机事件发生可能性大小的数量指标。事件A的概率记为P(A),常规定0P(A)1P(Ω)=1P(Ø)=0它不依主观变化而变化例如如何计算概率?摸球试验抛骰子试验§1.2概率二、古典概率赌徒分赌金问题定义:设E是一个随机试验,若它满足以下两个条件：(1)仅有有限多个基本事件；(2)每个基本事件发生的可能性相等。则称E古典概型的试验。古典概率的起源掷骰子试验例如：定义：设试验E为古典概型试验，Ai，i=1,2,…,n是基本事件,则由样本空间的样本点总数所含样本点的数目基本事件总数所含基本事件个数AAAP==)(所确定

2、的概率称为事件A的古典概率.鸽笼问题摸彩试验注：在古典概率的计算中常用到排列组合的知识，如乘法原理、加法原理等等。用样本空间求概率古典概率具有如下三个性质：(1)对任意事件A，有0≤P(A)≤1；(2)P(W)=1；(3)若A1，A2，…，An互不相容，则∑===miimiiAPAP11)()(U思考：古典概率能否解决所有的随机问题？抛硬币试验仪器寿命试验例如：三、频率定义：在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，称比值为事件A发生的频率。nmAfn=)(频率从一定程度上反映了事件发生可能性的大小。它随着试验的次数、试验者的

3、不同会有所不同。抛硬币试验频率的应用例如：注：频率不是概率，但在某种意义下，频率稳定于概率。四、概率的公理化定义定义：设E的样本空间为W，对于E的每个事件A，均对应于唯一一个实数，记为P(A)，其对应规则为1.(非负性)对任一事件A,有0≤P(A)≤1;2.(规范性)P(W)=1;3.(可列可加性)E的事件列A1,A2,…,互不相容,则∑∞=∞==11)()(iiiiAPAPU由公理化定义可以得到如下重要性质:基本性质:1.不可能事件的概率为0,即P(f)=0;2.(有限可加性)若试验E的事件组A1,A2,…,Am互不相容,则有∑=

4、==miimiiAPAP11)()(U3.对立事件概率和为1,即P(A)+P(A)=1;成立.则有满足和若事件概率单调性)()()(),()(,)(.4APBPABPBPAPBABA-=-≤∩概率加法定理:对试验E的任意两个事件A和B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)BAAB概率的公理化定义及性质，为概率的计算提供了更完善的理论依据.古典概率是公理化定义的特例.抽检试验例如：补充例题多除少补例1抛一颗均匀的骰子，观察其出现的点数情况。我们通过实践与分析可得：出现的点数为1,2,3,4,5,6的可能性都是相等的。概率的客观

5、性例2从10个标有号码1,2,…,10的小球中任取一个,记录所得小球的号码。12310987654?我们可得：摸出任一号码的小球的可能性是相同的，这是客观存在的事实。概率的客观性例3抛一枚硬币，观察其出现正面H和反面T的情况。通过实践与分析可得：硬币出现正面的可能性等于它出现反面的可能性。历史上几位著名科学家的试验结果:实验者抛掷次数出现正面次数m/n德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998频率例4圆周率p的计算。刘徽(公元2

6、63年，割圆术)p=3927/1250=3.1416。祖冲之(429~500)3.1415926

7、1022670.1103680.1124640.1055560.0926620.1027440.0728580.0959670.110π的前一百万位中各数码出现的频率数码出现次数出现频率0999590.10001997580.099821000260.100031002290.100241002300.100251003590.10036995480.09957998000.09988999850.100091001060.1001有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局(a

8、博中止，那赌本应怎样分才合理呢？在三年後，即1657年，荷兰的另一数学家Higgins亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望﹝mathemati