《双曲线》素材3（苏教版选修2-1）

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1、妙用双曲线的焦半径双曲线上任意一点到英焦点的距离称为该点的焦半径.已知点M(x0,%)在双曲线兀22r-r=l(d>0,b>0)上，Fe场分别为双曲线的左、右焦点，MF{=a+exA,cr=a-e)22Co

2、.同理，焦点在y轴上的双曲线訂一冷=1(q>0,&>0)的焦半径为crtrM£=q+£)讣，MF]=a-ey^其屮双曲线的焦点自下至上为片，代.例1已知片，代是双曲线W—.=1(G>0,b>0)的两焦点，以线段存，笃为边作crlx正三角形MF"若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()A.4+2希B.V3-I解：如图，M片的中点为P(xpf丹)，则P点的横坐标引二-一半径公

3、式『片

4、=_旳_0,得—利一勺“得一宀2心0,有e-2e_2=0,解得e=l+V3(幺=1—的舍去)，故选(D).点评：利用焦半径建立关系式，得出关于e的方程，从而获解.2例2经过双曲线x2-^-=1的右焦点鬥作倾斜角为30°的直线，与双曲线交于久B两点，片为左焦点，求厶F}AB的周长.解：由双曲线方程，得a=,b=羽,c=2,e=2・设心,yj,B(兀2,沙则AB的方程为y=-(x-2).2X2=1,于是?,消去y,W8x2+4x-13=0.y=丁（兀_2）,由根与系数的关系可求得

5、x2-xJ=

6、V3.•••AF}

7、ab

8、=x2-一（3+d）,川=ex2+a,AfJ+BFX=e

9、x2-xj=3^3.AAf；AB的周长为3+3>/3.点评：AB的长度的求法是利用了弦长公式6/=Vl+P22：3'%)与例3在双曲线誇一吉=1的上支上有三点A(xeyj,B(a/26,6),F(0,5)的距离成等差数列.求证：AC的垂直平分线经过某一定点.证明：AF=eyx-BF=q?2-a(兀是$点的纵坐标力CF=€儿知，得2BF=AF+CF,整理，得必+儿=2儿=12.设4C的中点M（x（）,6）,其中.又AC两点在双曲线上，于是13才一12#=12x13,13^-12x^=12x13.两式相减整理’得节^咛5“晋13•••AC的垂直平分线方程为y-6=——(x-x0),2兀

10、即13兀+x()(2y—25)=0,经过点fo,—1证得原命题成立.2丿点评：利用焦半径，借助点差法，将AC垂直平分线方程化为点斜式从而获解.学习“双曲线”的四点误区误区一：缺乏对双曲线定义的深刻理解，应用定义吋考虑不深刻，不全面，导致错误例1动点户到两定点百(-2,0),鬥(2,0)的距离之差的绝对值为6,则动点户的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.无轨迹示错：选(B).辨错：上述解答是忽视双曲线定义中的条件2a

11、,所以无轨迹.纠错：选(D).例2若一个动点P(x,刃到两个定点人(-1,0),鬥(1,0)的距离的差的绝对值为定

12、值d(0WdW2),试讨论点P的轨迹方程.2示错：由双曲线定义可知：轨迹是以心的为焦点的双曲线，其中c=l,戻Fy2・••方程为二一一=1.a~a~—144辨错：利用双曲线定义求轨迹方程时，一定要注意0<2°<闪厲

13、这个条件，若2d和、耳坊

14、大小不定,必须讨论.纠错:由己知得

15、耳笃

16、=2,(1)当时，轨迹是线段片坨的垂直平分线，方稈为兀=0・2(2)当0vgv2时，轨迹是以斥，的为焦点的双曲线，其中c=l，戻二1一中，Fy2・••方程为二一一=1.a~a~—144(1)当a=2时，轨迹为两条射线y=0(兀上1)或y=0(兀W—1).误区二：求双曲线方程吋，若焦点位置不能够确定，则要写出

17、焦点在/轴、y轴两种情况下的双曲线的标准方程，不能遗漏例3求焦距为14,两顶点间距离为12的双曲线的标准方程.示错：2c=14,2a=12,/.c=7,g=6,b2=13.22・・・双曲线方程为二一丄=1・3613辨错：因为题中条件确定不了焦点位置，焦点在才轴和焦点在y轴的双曲线的标准方程都适合题意，故所求的标准方程应有两个.2222纠错：所求双曲线方程为弍一工=1或22一—=1.36133613误区三：求双曲线方程时要考虑适合条件的各种可能性，不要遗漏例4求渐近线方程为3兀±4y=0,焦点为椭圆話+*=1的一对顶点的双曲线方程.示错：设所求的双曲线方程为二-丄=2(2H0).・・•双

18、曲线的焦点为椭圆的顶点^(-V10,0),f；(710,0).2・・・162+92=10,・・・2=—.55r25v2・・・双曲线方程为江一丄=1・3218辨错：因为双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点或短轴顶点不确定，所以双曲线的焦点，还有可能是短轴的顶点.22纠错：设所求双曲线方程为弍一匕=Q(/IhO),169①当双曲线的焦点是椭圆长轴顶点F.(-710,0),(710,0)Hj-,可求双曲线方程为-二1；①当双曲线的焦点是椭圆短轴顶点(0,-7