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1、一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、例题讲解四、小结第五节事件的独立性一、事件的相互独立性则有1.引例事件A与事件B相互独立,说明2.定义如果满足等式容易知道,发生与事件B发生的概率无关.是指事件A的两事件相互独立两事件互斥例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系由此可见两事件互斥但不独立.问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是S和P(S)=P()P(S)=0与S独立且互斥不难发现，与任何事件都独立.设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到
2、独立与互斥的区别和联系，1.P(B
3、A)>02.P(A
4、B)=P(A)3.P(A
5、B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B
6、A)>02.P(A
7、B)=P(A)3.P(A
8、B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.3.三事件两两相互独立的概念注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立4.三事件相互独立的概念定义n个事件相互独立n个事件两两相互独立推广证明二、几个重要定理相互独立,反之亦然.则下列各对事件也相互独立.证因为于是两个推论1。事件,2。则三、典型例题例1观察正反面出现的情况”.由题意,
9、甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的.例2一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性.如下图,设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接.试求系统的可靠性.故有由事件的独立性,得系统的可靠性解工作”,系统由两条线路I和II组成.当且仅当至少有一条线路中两个元件均正常工作时,系统才正常工作,例3甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的问对甲而言,采取三局两胜制有利,还是五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.解“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;补充例题若n个事件相互独立，则：（1）事件 至少有一个发生的概
10、率为（2）事件至少有一个不发生的概率为例4.某种型号的高射炮发一发击中目标的概率是0.6，现若干门高射炮同时发射，（每门发一发），问欲以99%以上把握击中飞机，至少要配置几门高射炮？设A=飞机被击中，Ai=第i门炮击中飞机，至少6门炮。解：伯努力概型n次重复独立试验：将一个试验重复进行n次，如果在每次试验中，任一事件出现的概率与其他各次试验的结果无关，则称这n次试验是n次重复独立试验。[注释]：“重复”指每次试验条件相同，每次事件发生的概率在各次试验中都相同。2.“独立”指各次试验结果相互独立。若一个试验只有两个结果：A—成功和—失败；则称这个试验为伯努利试验(Bernoulli试验)。它的
11、n次重复独立试验，称为n重伯努利试验。设成功A的概率为P（A）=p，P（）=q，p+q=1.在n重伯努利试验中，成功的次数可能为0，1，2，…，n次。关于成功恰好发生k次（0≤k≤n）的概率Pn(k)，有下面的定理：定理：设在每次试验中成功的概率为p(0＜p＜1),则在n重伯努利试验中成功恰好发生k次的概率为——二项概率公式其中p+q=1,k=0,1,2,…,n。证明：设Bk=成功A恰好发生k次,Ai=第i次试验成功，=第i次试验失败，则推论：证明：例6.设有N件产品，其中有M件次品，今进行n次有放回抽样（每次抽取一件），求这n次中共抽取到k件次品的概率？解：例5.连续投n次均匀骰子，求6点
12、恰好出现k次的概率？（k≤n）设A=每次出现6点，=每次不出现6点，解：P(A)=1/6=p，例7.某人进行射击，每次击中目标的概率均为0.01,令他独立地射击300次，求恰好有4次击中目标的概率？解：二项概率的泊松逼近定理：如果n→∞,p→0使得np=λ保持为正常数，则对k=0,1,2,…一致地成立。由定理条件np=λ(常数)知，当n很大，p很小时，有下面的近似公式：其中λ=np,k=0,1,…n在实际应用中,当n≥10,p≤0.1时有近似公式为：其中λ=np,k=0,1,…n当n≥10,p≥0.9(即q≤0.1)时有近似公式为：当0.1＜p＜0.9时，可考虑用正态近似，将在第四章中论述。
13、P292附表1，泊松分布累积值表例3（续）n=300,p=0.01,λ=300*0.01=3.解：例4.一个工厂某产品的废品率为0.005，任取1000件，求（1）不超过5件废品的概率，（2）其中至少有两件废品的概率。n=1000,p=0.005,np=5（1）设A=废品不超过5件，则：解：（2）设B=至少有两件废品，则：随机试验与事件样本空间与事件事件概率的直观意义排列组合古典概率几何概率统计概率概率的公理
