高中数学第三章函数的应用311函数与方程课堂导学案新人教A版必修1

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1、3.1.1函数与方程课堂导学三点剖析一、函数的零点概念及求法【例1】求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y>0,y<0时，x的取值范围.解析：解二次方程-x2-2x+3=0得，X1=~3,X2=l,・•・函数y=-x2-2x+3的零点为-3,1.y=-x2-2x+3=-(x+l)2+4,画出这个函数的简图,从图象上可以看岀当-30.当x<-3或x>l时，y<0.・・・函数y=-x-2x+3的零点是-3,1.y>0时，x的収值范围是(-3,1):y<0时,x的取值范围是-3)U(l,+oo).温馨提示函数的零点即对应方程的根.本

2、题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c>0«0)的解集.二、函数零点的应用【例2】己知函数f(x)=x3-8x+1在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象，你能探究出方程x「8x+l二0的一个实根所在的区间吗？(精确到0.1)X22.12.22.32.42.5f(x)-7-6.539-5.952-5.233-4.376-3.375X2.62.72.82.93•••f(x)-2.224-0.9170.5522.1894•••解析:观察表格并利用描点法作岀f(x)的大体图象,发现当自变量xrtl2变到3时，其两数值由-

3、7逐渐接近于0,再变为正值，在此变化过程中，由于y二f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点xo使得f(x)二0,即xo3-8xo+1=O,此X。所在的区间为［2.7,2.8］.y4•32■1•£2•3X-2•-3•-4■-5•-6•-7•■•温馨提示判断零点所在的区间方法有两个：l.f(a)・f(b)<0,且图象在［a,b］上连续不断.2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表〜描点〜连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如儿何画板工具软件，TI图形计算器等.这里对函数单调性

4、的分析可以帮助确定零点个数.【例3］已知函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是①若f(a)・f(b)<0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点②若f(a)・f(b)>0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点③若£6)在@,1))内有零点,必有f(a)•f(b)<0④若f(a)•f(b)WO,则函数f(x)在(a,b)内有零点⑤若f(a)・f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)内有零点解析：本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.①有条件f(a)・f(b)<0成立，则在(a,b)内可能

5、不止一个零点;②是在f(a)・f(b)>0的情况下，未必无零点;③在(a,b)内有零点，也未必有f(a)・f(b)VO成立;④注意端点问题,可能a、b恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助.答案:⑤温馨提示对于一个定理和结论的理解，要做到逐字逐句地去琢磨、分析•条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立，而条件未必成立•注意思维的严密性.各个击破类题演练1求y=x2+2x+l的零点，并指出y>0的取值范围.解析：令x2+2x+1=0,x=-l.・・・y二x?+2x+l的零点为-

6、1.y>0的取值范围为xH-l.变式提升1(1)若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a、b的值.(2—4=—a,［a=2,解析：由条件得彳：.［2x(-4)=/?,［方=-&(2)求函数y=x3-7x+6的零点.解析:*/x3-7x+6=(x'-x)-(6x-6)=x(x2-l)-6(x-1)=x(x+1)(xT)-6(xT)=(xT)(x2+x-6)=(x-l)(x-2)(x+3),解x「7x+6二0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0,xi=-3,X2=l,x3=2.・・・函数y二x'-7x+6的零点为-3,1,2.类题演练

7、2函数f(x)=x2+ax+b的零点是T和2,判断函数g(x)=ax'+bx+4的零点所在的大致区间.思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=O的根，即Aax+b=O的根，由根与系数的关系可求得纸b的值,从而可求解.解：・・・_1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点，A-l+2=-a,-lX2=b,即a=-l,b二-2..*.g(x)=-x-2x+4.Vg(l)=l,g(2)=-8,g(l)5g(2)<0,・・・g(x)在区间(1,2)内有一个零点.又•・・g(x)在R上是单增函数,・・・g(x)只有一个零点.变式提升2利用函数的图象

8、，指出下列函数零点所在的大致区间：(1)f(x)二-x‘-2x+l;(2)f(x)=e'x+2x+2.解析：(1)用计算器或计算机作出x