高中数学第三章函数的应用3.2.1函数模型及其应用课堂导学案新人教a版必修1

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1、3.2.1函数模型及其应用课堂导学三点剖析一、常见函数模型【例1】(一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;(2)按总价的92%付款.某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个),若需茶杯x个,付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可.解:

2、由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4),由优惠办法(2)可得函数关系式:y2=(5x+4×20)×92%=4.6x+73.6.比较:y1-y2=0.4x-13.6(x≥4).①当0.4x-13.6>0,即x>34时,y1>y2,即当购买茶杯个数大于34时,优惠办法(2)合算.②当0.4x-13.6=0,即x=34时,两种优惠办法一样合算.③当0.4x-13.6<0,即4≤x<34时,y1<y2.优惠办法(1)合算.温馨提示1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论.2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模

3、.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长,需要逐字逐句地把问题看懂,这是建立数学模型的前提.二、利用函数模型分析问题【例2】(指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为a元,每期利率为r,存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10000元,每期1.98%,试计算5期后,本息总和是多少?思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以

4、可从第一期开始以此类推.解:∵本金为a元,∴1期后本息和为a+ar=a(1+r);2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;3期后本息和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3;……x期后本息和为y=a(1+r)x.将a=10000,x=5,r=1.98%代入上式得,y=10000(1+1.98%)5=11029.99(元).温馨提示在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为a,平均增长率为p,则总量y与时间x的关系式为y=a(1+p)x,此为指数型函数.各个击破类题演练1(二次函数模型)某旅店有客房300间,每间日房租为20元,每天客满.旅店欲

5、提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高?解析:设定租金x元,总收入最高,则总收入y=x(300-×10)=-5[(x-40)2-1600],当x=40时,y最大且最大值为5×1600=8000(元).答案:40元变式提升1某工厂生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一件产品成本增加100元,已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和,单位:元)是年产量(单位:件)的函数.满足关系式:R=f(Q)=(1)将总利润L(单位:元)表示为Q的函数;(2)求每生产多少

6、件产品时、总利润最大?此时总利润是多少?解析:(1)根据题意,总成本应为C=g(Q)=20000+100Q,从而可得总利润函数为L=φ(Q)=即L=(2)当0≤Q≤400时,L=-(Q-300)2-20000+45000=-(Q-300)2+25000.此时当Q=300时,L最大=25000;当Q>400时,L=60000-100Q<60000-100×400=20000<25000;所以,当Q=300时,L最大=25000.答:每年生产300件产品时,总利润最大,最大利润为25000元.类题演练2某企业计划发行企业债券,每张债券现值500元,按年利率6.5%的复利计息,问多少年后

7、每张债券一次偿还本利和1000元?(参考lg2=0.3010,lg1.065=0.0274).解析:设n年后每张债券一次偿还本利和1000元,由1000=500(1+6.5%)n,解得n=lg2/lg1.065≈11.答:11年后每张债券应一次偿还本利和1000元.变式提升2某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).解析

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1、3.2.1函数模型及其应用课堂导学三点剖析一、常见函数模型【例1】(一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;(2)按总价的92%付款.某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个),若需茶杯x个,付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可.解:

2、由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4),由优惠办法(2)可得函数关系式:y2=(5x+4×20)×92%=4.6x+73.6.比较:y1-y2=0.4x-13.6(x≥4).①当0.4x-13.6>0,即x>34时,y1>y2,即当购买茶杯个数大于34时,优惠办法(2)合算.②当0.4x-13.6=0,即x=34时,两种优惠办法一样合算.③当0.4x-13.6<0,即4≤x<34时,y1<y2.优惠办法(1)合算.温馨提示1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论.2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模

3、.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长,需要逐字逐句地把问题看懂,这是建立数学模型的前提.二、利用函数模型分析问题【例2】(指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为a元,每期利率为r,存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10000元,每期1.98%,试计算5期后,本息总和是多少?思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以

4、可从第一期开始以此类推.解:∵本金为a元,∴1期后本息和为a+ar=a(1+r);2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;3期后本息和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3;……x期后本息和为y=a(1+r)x.将a=10000,x=5,r=1.98%代入上式得,y=10000(1+1.98%)5=11029.99(元).温馨提示在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为a,平均增长率为p,则总量y与时间x的关系式为y=a(1+p)x,此为指数型函数.各个击破类题演练1(二次函数模型)某旅店有客房300间,每间日房租为20元,每天客满.旅店欲

5、提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高?解析:设定租金x元,总收入最高,则总收入y=x(300-×10)=-5[(x-40)2-1600],当x=40时,y最大且最大值为5×1600=8000(元).答案:40元变式提升1某工厂生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一件产品成本增加100元,已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和,单位:元)是年产量(单位:件)的函数.满足关系式:R=f(Q)=(1)将总利润L(单位:元)表示为Q的函数;(2)求每生产多少

6、件产品时、总利润最大?此时总利润是多少?解析:(1)根据题意,总成本应为C=g(Q)=20000+100Q,从而可得总利润函数为L=φ(Q)=即L=(2)当0≤Q≤400时,L=-(Q-300)2-20000+45000=-(Q-300)2+25000.此时当Q=300时,L最大=25000;当Q>400时,L=60000-100Q<60000-100×400=20000<25000;所以,当Q=300时,L最大=25000.答:每年生产300件产品时,总利润最大,最大利润为25000元.类题演练2某企业计划发行企业债券,每张债券现值500元,按年利率6.5%的复利计息,问多少年后

7、每张债券一次偿还本利和1000元?(参考lg2=0.3010,lg1.065=0.0274).解析:设n年后每张债券一次偿还本利和1000元,由1000=500(1+6.5%)n,解得n=lg2/lg1.065≈11.答:11年后每张债券应一次偿还本利和1000元.变式提升2某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).解析

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