2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型学案 新人教A版必修1

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1、3.2.1　几类不同增长的函数模型学习目标：1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)[自主预习·探新知]三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝lo

2、gax(a>1)的增长速度越来越慢②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　)(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax

3、种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图321所示．图321以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________.【导学号：37102371】②④　[结合图象可知②④正确，故填②④.][合作探究·攻重难]几类函数模型的增长差异　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)A．y＝2018x　　　　　　B．y＝x2018C．y＝log2018xD．y＝2018x(2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x在区间

4、(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x在区间(0

5、，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．][规律方法]　常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大

6、的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.[跟踪训练]1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3

7、226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________.【导学号：37102372】y2　[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]指数函数、对数函数与幂函数模型的比较　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图322中曲线C1，C2分别对应的

8、函数；图322(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2016)，g(2016)的大小．[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞