高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程学案 新人教a版必修1

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1、3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点一、新课引入考察几个一元二次方程及其相应的二次函数的关系方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3，函数图象如上图，你能发现什么？二、新课（1）当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点。（2）当△＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的一个个交点。（3）当△＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴无交点。1123－1－2－3x32－1－20

2、y对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫函数y＝f（x）的零点。方程f（x）＝0有实数根函数y＝f（x）的图象与x轴有交点函数y＝f（x）有零点观察二次函数f（x）＝x2－2x－3的图象，发现这个二次函数在区间（－2,1）上有零点x＝－1而f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f（1）＜0二次函数在区间（2,4）上有零点x＝3而f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0一般地，函数f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么函数f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，

3、这个c也就是方程f（x）＝0的根。例1、求函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点的个数。分析：用计算机辅助作图象，可得函数在区间（2,3）内有零点，再观察图象在（0，＋∞）上是增函数，因此，该函数只有一个零点。练习：填写下列表格的根与X轴的交点△>0△=0△<03.1.2用二分法求方程的近似解学案学习过程一、复习提问什么是函数的零点？函数在区间（a，b）内有零点，则有什么性质？二、新课1、新课引入中央电视台由李咏主持的节目《幸运52》中有一项猜商品价格的游戏，首先给出了商品价格的范围，如果是你，你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢？现实中还有这种方法运用的实例吗？一元二次方

4、程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx＋2x－6＝0的根，联系函数的零点与相应方程的关系，能否利用函数有关知识求出它的根呢？2、取中点法求方程lnx＋2x－6＝0的根方程lnx＋2x－6＝0在区间（2,3）内有零点，（2＋3）＝2.5f（2.5）·f（3）＜0，所以零点在区间（2.5，3）内，（2.5＋3）＝2.75f（2.5）·f（2.75）＜0，所以零点在区间（2.5，2.75）内。如此下去，零点范围越来越小，当区间的端点的差的绝对值小于0.01时，可以将端点作为零点的近似值。P105表3－2。对于在区间［a，b］上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f

5、（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法（bisection）。给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤：1、确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；2、求区间（a，b）的中点x1；3、计算f（x1）；（1）若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；（2）若f（a）·f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））（3）若f（x1）·f（b）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））4、判断是否达到精确度ε，：即若∣a－b∣＜ε，则达到零点近似值a（

6、或b）；否则重复2――4。一般用计算机设计一定的程序来完成求零点。例2、借助计算机或计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.1）。作业：P1081、2、3、4、5