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1、［课题］:第一章集合与函数概念二：函数基本性质一、函数的单调性引入：二次函数的单调性：对函数/（兀）=处2+加+c（qhO）,当a＞0时函数/（x）在对称轴X=~—的左侧单调减小，右侧单调增加；2a当d＜0时函数/（X）在对称轴X=--L的左侧单调增加，右侧单调减小；2a1.单调函数的定义（1）增函数一般地，设函数/（兀）的定义域为如果对于属于/内某个区间上的任意两个自变量的值禹、兀2,当旺5时都有/（^）＜/（%2）,那么就说/（兀）在这个区间上是增函数。（2）减函数:如果对于属于1内某个区间上的任意两个自变量的值坷、兀2,当西＜
2、兀2时都有fW＞/（兀2），那么就说/（Q在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数=/（x）在某个区间是增函数或减两数。那么就说函数y=/（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=/（兀）的单调区间。2.单调性的判定方法（1）定义法：①任取：X］,X2^D,且X］＜X2；②作差：沧］）一心2）・③变形：（通常是因式分解和配方）；便于判断符号必须变形至出现坷-兀2,和出现多项式乘除的形式.Q定号：即判断/（兀1）-于（兀2）＞0或心）-/（x2）＜0；©卜•结论（即指出函数/U）在给定的区间D上的单调性）。典例：求证/
3、（x）=X4-V2-X在上为增函数。I'4」7II解：1^X（＜x2＜—,贝1卩（州）_/（兀2）=（州_兀2）+J2_A?
4、_J2_*2，分子、分母同时乘以丁2-州+J2-兀2，得/U.）-/（x?）=3_卷罟耳屮耳-1）,・J2—兀1+J2—兀2x}-x2<0,圧云＞占炉云》£，所以/（E）—/（心＜0,函数在［oo为单调递增函数。I‘4」变式练习：1・判断下列函数的单调区间：y=-（xg［0,+oo））0X2.判断下列函数的单调区间：y=（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数
5、的单调性的判断：y=/(w)增/减w=g(兀)增/减、增/减、y=f(g(x))增/减减增/小结：复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数：当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同橹昇减（类何孑"负负得正如典例1：求y=V7-6x-x2的单调区间.解：设y=A^,u=7—6x—x2,由u30,即u=7—6x—x，解得原复合函数的定义域为一7WxWl.因为y二石在定义域［0+8］内是增函数，u=-x2-6x+7=-（x+3）2+16u在xW-3时是单调增加。由-7WxWl,（复合函数定义
6、域）xW-3,（u增）解得-7WxW-3.所以［-7,3］是复合函数的单调增区间.易知u=—x2—6x+7=—（x+3）2+16在xN_3时单调减，由—7WxWl（复合函数定义域）x2—3,（u减）解得一3WxWl,所以［—3,1］是复合函数的单调减区间.变式练习：1.函数y=^~X2的单调递减区间是,单调递增区间为•2.y=1=的单调递增区间为.V—4x+53、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域
7、内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).③一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：y二丄不能说x(-00,0)U(0,+oo)是原函数的单调递减区间；可以用'和'来连接。4、单调性性质：1.奇函数在其对称区间上的单调性相同；2.偶函数在具对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数/(兀)+增函数g(x)是增函数；减两数/(x)+减两数g(x)是减两数；增函数/(X)-减函数g(x)是增函数；减函数/(%)-增函数g(x)是减函数。5•小结：1・单调性定义。2•单调性的判定。3•单调性的注意爭项，单调性的性质
8、。二、函数的奇偶性1.奇偶性的定义：(1)偶函数：一般地，如果对于函数/(兀)的定义域内任意一个兀，都/(-%)=/(%),那么函数/(兀)就叫做偶函数。例如：函数/(x)=x2+l,f(x)=x4-2等都是偶函数。(2)奇函数：一般地，如果对于函数/(兀)的定义域内任意一个兀,都有/(-X)=-/(X),那么函数/(兀)就叫做奇函数。例如：函数/(X)=X,f(x)=丄都是奇函数。思考：在奇函数中，若0在定义域内的话，利用定义如何计算/(0)的值？(3)奇偶性：如來函数/(兀)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数/(兀)具有奇偶性。
9、说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：1.其定义域关于原点对称；1./(-X)=/(%)或/(一兀)=-/(%)必有一成立。因此，判断某一•函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算/(-X),看是等
