《概率统计a教学资料》第八章（第一节矩估计法）

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1、第八章参数估计第一节参数的点估计在研究总体X的性质时，如果知道总体X的概率分布,那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。在这里，我们假定总体X的分布函数的形式已经知道，未知的仅是其中的一个或几个参数，一旦这些参数知道后，总体X的真分布就完全确定了。为了寻求这些参数的值，很自然的会想到用总体X的样本值心兀，…，花来估计参数的值，这个问题称为参数的点估计问题。下面介绍参数点估计的两种方法。—、矩估计法例1某灯泡厂生产一批灯泡，由于随机因素的影响，每个灯泡的使用寿命是不一样的。由中心极限定理和实际经验知道，灯泡的使用第八章参数估计第一节参数的点估计在研究总体X的

2、性质时，如果知道总体X的概率分布,那是再好不过了。然而，在许多情况下，对总体的情况知道甚少或只知道部分信息。在这里，我们假定总体X的分布函数的形式已经知道，未知的仅是其中的一个或几个参数，一旦这些参数知道后，总体X的真分布就完全确定了。为了寻求这些参数的值，很自然的会想到用总体X的样本值心兀，…，花来估计参数的值，这个问题称为参数的点估计问题。下面介绍参数点估计的两种方法。—、矩估计法例1某灯泡厂生产一批灯泡，由于随机因素的影响，每个灯泡的使用寿命是不一样的。由中心极限定理和实际经验知道，灯泡的使用寿命X〜NW但不知道其中参数“和L的具体数值。为了确定该批灯泡的质量，自然要求估计这批灯泡的

3、平均寿命以及寿命的差异程度,即要求估计“和k的值.为了对参数“和"2进行估计，我们从总体中抽取样本&,X2，.・.,X”（对于一次具体的抽取，他就是具体的数值心兀，…，兀,在不致引起混淆的情况下,今后也用X,，兀，…,X”表示随机变量），根据样本矩在一定程度上反映了总体矩的特征，自然想到用样本矩作为总体矩的估计。于是，我们分别用样本均值和样本方差作为总体均值“和总体方差的估计，记为〃和即有(8.1)1,—n日=丄£（火—文）2=S?,（8.2）n-1'显然,“和F都是样本X’，X”…,X”的函数，是统计量，分别称为"和/的矩估计量。若兀，兀2,…，戈为样本值,则称1“-P=—工兀—X,n曰

4、&2=1n-±(x-xy=s/=1分别为〃和k的矩估计值.对于不同的样本值，估计值也是不同的。这种用样本矩来估计相应的总体矩的方法，称为矩估计法。矩估计的理论根据和方法：设总体X的分布函数为•••，◎）,未知参数Q0，…总体矩：EXk=匕©0「・・0),£=12…，加或E(X—…0J,X,,X,,X”为来自于总体X的样本，不，兀,为样本值（观察值，抽样结果,具体记录下来的一组数）.样本矩:1”IX，n曰1“——b严-工（x-xy,n曰1”——SJ—s（x,-x）2n-=•在一定条件下，A=—£x：—=%,（i）n曰z或1n—b严-工（x-xyE（x-Exy=bkn曰于是，可令4=l£

5、x：作为ak=EXkn的近似值，4=畋即令(人为作出方程组)%(◎，&”••,&”)=4,k=1,2,…，加,得到含加个未知数的加个方程式；解这加个联列方程组可得到的一组解（记为）:@二@（XjX?,…,X”）,i=1,2,--•,m则这组解2就称作为的矩估计量,其观察值称为矩估计值.矩估计的另一种观点：在方程组EX'=乞©,0,•••,&”），k=1,2,…,m,中，求解出解q=Q（EX',EX?,…，EX"J,i=,2,…,m；将其中的EX火用人替换，得到（7=1,2,…，加）称&=仇（£,企,…，九）=a（x「x2,…,x“）（f=l,2,-..,m）为0（心1,2,…，眈）的矩估

6、计量;将样本值代入得矩估计值.（或从方程组E（X-EX）T“0,k—1,2/・・,加，中，求解出解q=Q(E(X-EX)'，E(X-EX)2,・・・，E(x-EXT),将其中的E（X-EX）k用Bk替换，得至IJ称&二&口屍…屁）e严匕厲屁,…,Bj=q（x“X2,…（i=12…，加）为仇（i=12…，加）的矩估计量;将样本值代入得矩估计值・）例2有一批零件，其长度X〜N（W现从中任取4件，测的长度（单位：mm）为12.6,13.4,12.13.2,试估计“和er2的值。s'[(126-13)2+(13.4-13『+(12・8—13y+(13.2-13门=0.133得“和k的估计值分别为1

7、3(mm)和0.133(mm)2。例3设总体X的概率密度为心)彳0,其它儿/,…,％”为来自于总体X的样本,兀，兀2,…，兀”为样本值,求&的矩估计。解先求总体矩EX=x-6bcedx=6xedx=—x"11'=—I9&+1o&+1即得=0+1即有&二(&+1)天，解之得4丄为&的矩估计量,亠为&的矩估计值.1—X对于作等式的原则，总体矩和样本矩都有多种，要用同样种类的矩列出等式。多个参数时，列等式的方式不唯一，因此