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《《概率统计a教学资料》第八章（第一节极大似然估计）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第八章参数估计第一节参数的点估计二、极大似然估计法这里介绍估计的另一种常用方法一极大似然估计法。先看一个简单的例子：某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过•只听到一声枪响，野兔应声倒下•如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢？你就会想，只发一枪便打中，猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率•看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.为了说明极大似然估计的原理，我们先来考察一个简单的估计问题。设袋中装有许多白球和黑球。只知两种球的数目之比为3:1,试判断是白球多还是黑球多。显然，从袋中任取一球为黑球的概率P是搏者
2、,如果是？则袋中白球多，如果是°,
3、就是黑球多。现4在我们从袋中有放回的任取3只球,那么黑球数目X服从二项分布：p{x=x；p]=c；pi-pyx=0,123;其中卩为取到黑球的概率.□□从常识上可以接受这样的判断:CI）若取出的3只中有0只黑球,3只白球，则我们以较大的把握认为袋中白球多，应认为是从黑球概率为p=-的总体中取来的.4(2)若取出的3只中有1只黑球，2只白球，则我们以较大的把握认为袋中白球多，应认为是从黑球概率为p=-的总体中取来的；4(3)若取出的3只中有2只黑球，1只白球，则我们以较大的把握认为袋中黑球多，应认为是从黑球概率为p=-的总体中取来的；4(4)若取出的3只中有3只黑球，0只白球，则我们以较大的
4、把握认为袋中黑球多，应认为是从黑球概率为p=-的总体中取来的.4分别计算〃冷和"扌时,P{X=x}的值，列于表8T.X0123p=-^,P[X=x｝的值4276427649641643p=-^P｛X=x｝的值416496427642764由于样本来自于总体，因而应很好的反映总体的特征。如果样本中的黑球数为0,就应当估计〃为1而不估计为2,（这是44常识判断），同时注意到有12731P{X=°；厂打和＞BX=O；"蔦}=耐正是选的使P{X=0;p}达到最大值的"这说明，黑球数x=o的样本来自于p=-的总体比来自于防3的总体的44可能性要大，因而取m乍为P的估计更合理.类似的，兀=1是也取丄作为
5、〃的4估计。当x=2,3时取°作为卩的估计。4即得到〃的估计量为1-43-4即若取出的3只球中有兀只黑球,□□则总体中任取一只为黑球的概率为—,x=O,lpM=胃〔4即认为是从任取一只为黑球的概率□□x=0,1pM=o；*2,3的总体中来的.从表中看出成立不等式P{X=x;pM}>P[X=x;p}1x=0,123;旷4'4也就是说，根据样本的具体情况选择0,使得该样本发生的概率最大。即对每个（固定）小选取恥），使得P{X=x;p（x）}>P{X=x-p}其中是不同于恥）的另一值。这就是极大似然估计法的基本思想。—般的，设总体X的概率密度为fW其中&是未知参数（^©,e不同，总体也不同）ox,
6、,x2,•••,%„为来自于总体x的样本,不，兀，…，兀”为样本XrXzJ’X”的样本值（观察值，发生的事件），问心兀，…，兀，是从哪个总体中抽出的？（即&应取多少？）考察（X「,X2，・・・,XJ落在点（X,，兀2，…,X”）的邻域内的概率AxAxPdX-x.K^.jx-xK^}”Av二W仆丁｝-口Lg/（—；&）此=II/（兀；&）Ay二（Il/（x；&））・fl公，1=1/=!/=!从直观上讲，既然在一次试验中得到了观察值（补兀‘…‘兀），那么可以认为样本落在（兀，兀2,…，兀）的邻域里这一事件是较易发生的，具较大的概率.所以就应是从使得样本落在点（兀,兀,…,兀）的邻域内的概率达到最大
7、的总体中抽取的，这样才能在一次抽取中以较大可能性取到（不,兀,…，兀）.即选取使这一概率达到最大的参数作为真参数的估计.极大似然法就是选取总体参数&的估计值玄使得样本（X,,X2,•••,%„）落在点（不,兀,…,兀）的邻域内的概率=（口/（兀;&））11込达到最大,也就是i=l/=!使达到最大值.f=l记厶⑹=厶（心兀/=!称L（e）=L（x_，兀，…,X”;0）为似然函数.定义1厶⑹=厶（兀"•“；&）在◎达到最大值，则称$是&的极大似然估计。即如果选取使下式L@）=max厶（&）成立的0作为目的估计，则称◎是&的极大似然估计。因此，求总体参数&的极大似然估计值$就是求似然函数的最大值问题
8、。根据微积分的知识，要使厶（&）达到最大值,◎必须满足ddO厶⑹=0,通常用简化求法：因为厶与111厶在同一值处达到最大，◎也可由加（心求得，这在计算上常常带来方便.多参数情形的极大似然估计若总体X的概率密度为…0）,其中G0,…0为未知数，兀,兀,…，兀为样本x、,x“・・,x”的(8.4)样本值（观察值）,此时似然函数为厶(弋,兀,…,花;00,・・・0)=口/(兀;&0,・・・0)，/=!求
