晶格振动和晶体的热力学性质

《晶格振动和晶体的热力学性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、目录第一章晶体结构第二章晶体的结合第三章晶格振动和晶体的热学性质第四章晶体缺陷第五章金属电子论第六章能带理论第三章晶格振动和晶体的热学性质在前两章的讨论中,把晶体中的原子视为固定不动.实际晶体中的原子、分子都在其平衡位置做微振动.0K下仍有振动,零点能.格波---由于晶体原子间的相互作用,原子的振动不是孤立的,而是以波的形式在晶体中传播,形成所谓的格波.晶格振动---晶体可视为一个相互耦合的振动系统，这种运动就称为晶格振动.类比于绳波晶格振动是原子的热运动,对晶体热学性能起主要贡献.与比热、热膨胀和热传导等晶格振动是个很复杂问题，任何一个原子的运动都会涉及到

2、大量原子的运动.牵一发而动全身所以,在处理过程中只能采取一些近似模型.先考虑一维情况，再推广到三维情况。---简谐近似3.1一维单原子链3.1.1运动方程考虑由N个相同的原子组成的一维晶格,原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m.用xn表示序号为n的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，那么表示在t时刻第n个和第n-1个原子的相对位移.xn-2xn-1xnxn+1xn+2第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子a第n+2个原子设平衡时两个原子间的互作用势能为，则产生相对位移后,相互作用势能变成.将在平衡位置作泰勒级数展开上式第一项为常数.第二项为零(平

3、衡时势能取极小值,f=0).当很小,即振动很微弱时,可保留到第三项.则恢复力为称为恢复力常数---可见为简谐振动---简谐近似xn-2xn-1xnxn+1xn+2第n个原子第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子a第n+2个原子只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等,第n个原子受到的力为第n个原子的运动方程为对于每个原子都有一个这样类似的方程,3.1.2格波频率与波矢的关系以上方程组解的形式为A为振幅为圆频率q为波矢方程数目和原子数目相同.简谐振动方程的解位相因子波矢如果第个原子和第n个原子的位相差为的整数倍,即s为整数这表明第个原子和第n个原子的

4、距离为的整数倍时,原子因振动产生的位移相等.晶格中原子振动是以角频率为的平面波形式存在，波长这种波称为格波.格波的意义连续介质中的机械波格波方程晶体中的格波——格波和连续介质波具有完全类似的形式3.1.3晶格振动的色散关系将代入得几列波在媒质中传播，它们的频率不同，传播速度亦不同，这种现象叫色散.---色散关系由色散关系式可画图如下:0mq0mq(1)偶函数(2)周期函数注:(3)几个特殊点常放在一个周期中研究(4)波速格波的(相)速度不再是常数(与机械波不同)由于原子的不连续性.0mq长波近似频率与波矢为线性关系.常数有连续介质中弹性波的特性连

5、续介质中弹性波的特性在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质()，格波可视为弹性波。Y--弹性模量–介质密度其波速为声速,故单原子链中传播的长格波叫声波.长波近似下格波机械振动在弹性介质中传播形成的波称为弹性波3.1.4周期边界条件前面所得的运动方程只适用于无限单原子链的情况,但实际上晶体是有限大的，边界上（两端）的原子所受到的作用与内部原子不同，其运动方程式应有不同，使问题变复杂.为解决这一问题，需要引入玻恩–冯.卡门边界条件.N个原子头尾相接形成环链,这时每个原子都是等价的.则所以晶格振动波矢只能取分立的值,即是量子化的.(共N个值)波矢也只能取N个不同的

6、值,波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目为了保证xn的单值性,限制q在一个周期内取值即,N个独立的格波，也即N个不同频率,或者说有N个独立的振动模式(简振模)3.2一维双原子链3.2.1运动方程大多数晶体的晶胞中都包含不止一种原子,这就是复式格子.最简单的复式格子为一维双原子链.考虑两种不同原子所构成的一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m

7、-1x2n+1x2n+2x2n-2类似与求解一维单原子链的运动方程,可得即认为同种原子的振幅相同，只有位相上存在差别(2nq)，不同原子的振幅可以不同.3.2.2色散关系将解代入上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程欲使A，B有非零解，其系数行列式应为零，即:推导略---光学支格波---声学支格波(1)偶函数(2)周期函数注:在一个周期内折合质量AcousticsOptics在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似,所以我们称之为声学波.声学波当波矢时,推导略级数展开相邻原子的振幅之比对于声学支格波:声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的.由右

8、图可知所以当波矢时,长声学波，相邻原子的位移相同，原