晶格振动对晶体的许多性质有影响

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1、晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如，固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格的振动有关。设：原胞中只含有一个原子，整个原子平面作同位相运动。可以有三种振动波，一个纵向振动波，两个横向振动波.1.3晶格振动1.3.1一维原子链的的振动1.3.2晶体振动的量子化1.3.3确定晶格振动谱的实验s-1ss+1s+2s+3s+4aK或qK或q一、一维单原子晶格的线性振动1.3.1一维原子链的振动条件：每个原子都具有相同的质量m；晶格常数（平衡时原子间距）为a；热运动使原子离开平衡位置x。n-2n-1nn+1n+2n+3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3设：原子间的作用力是和位移成

2、正比，但方向相反的弹性力；两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。xn表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n个原子相对第n+1个原子间的位移是：a+xn–xn+1-a=xn–xn+1同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是：xn–xn-1第n个原子受第n+1个原子的作用力：Fn，n+1=-ks(xn-xn+1)第n个原子受第n-1个原子的作用力：Fn，,n-1=-ks(xn-xn-1)则第n个原子所受原子的总力为：F=Fn，n+1+Fn，,n-1得：F=ks(xn+1+xn-1-2xn)1.原子间的作用力服从虎克定律第n个原子运动方程：md2xn/dt2=ks(x

3、n+1+xn-1-2xn)2.原子间的作用力服从牛顿定律晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）：xn=Aexpi(t-naq)、xn=Aei(t-naq)、xn=Acos(t-naq)A：振幅；：角频率；n：1，2，3，4……N；aq：相邻原子的位相差；naq：第n个原子振动的位相差。此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。012343.原子振动方程如果第n个和n第个原子的位相之差：(qna-qna)=2s(s整数)，即qn-qn=2s/a时，原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各个原子间的振动相互间存在着固定的位相关系。结果：在晶格中存在着角

4、频率为的平面波------格波。格波格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体中传播形成的波。格波的特点：晶格中原子的振动；相邻原子间存在固定的位相。nn+2n-1n+1n-2°°°°°°°°°°°°°°°2/q=4.色散关系（晶格的振动谱）色散关系：频率和波矢的关系。（1）色散关系的数学表达式将间谐振动方程：xn=Aei(t-naq)代入牛顿方程：md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)得：2={1-cos(qa)}2ks/m或=2(ks/m)1/2

5、sin(qa/2)

6、上式为一维简单晶格中

7、格波的色散关系（---q的关系)，也为频谱关系。---q的关系为周期函数。根据函数的周期性，

8、qa/2

9、/2即

10、q

11、/a在此范围以外的一切q值，只是重复此范围的q值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度(

12、-/a

13、+

14、/a

15、=2/a)。q的正负号说明：正的q对应在某方向前进的波，负的q对应于相反方向进行的波。色散关系为周期函数；当q=0时，=0当sin(qa/2)=1时，有最大值，且max=2(ks/m)1/2-2/a-/a0/a2/amaxmax一维不喇菲格子振动的频谱（2）频谱图有：(q)=(q+2/a)说明波矢空间具有平移对

16、称性,其周期为第一布里渊区边长.由布里渊区边界q=/a=2/得：/2=a满足形成驻波的条件q=±/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条件，反射波与入射波叠加形成驻波。入射波反射波一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aei{t-qna}将波矢：q=2s/a+q´（为任意整数）代入得xn=Aei{t-(2s/a+q´)na}=Aei2snei(t-q´na)ei2sn=1xn=Aei{t-q´na}=xn´(3)分析讨论结论如果q-q´=2s/a（为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引起的振动完全相同。对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢q，它们

17、之间都相差2/a的整数倍。为了保证xn的单值性，把q值限制在(-/a,/a),其中a是该格子的晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。例如：波矢q´=/2a原子的振动同样可以当作波矢q=5/2a的原子的振动（q-q´=2/a）。红线：q=5/2a,=4a/5两相邻原子振动的位相差是2+/2。•••••绿线：q´=/2a，=4a两相邻原子振动的位相差是/2。格波与一般连续介质波的比较相同：振动方程形式类似区别：[1]连续介质波中x表示空间任意一点，而格波只取呈周期性