命题逻辑--propositional

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1、命题逻辑现代逻辑较简单、较基本的组成部分，它不考虑把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分的组合，只研究由命题和命题联结词构成的复合命题、特别是研究命题联结词的逻辑性质和推理规律。命题逻辑分为经典命题逻辑和非经典命题逻辑，后者如构造逻辑、模态逻辑等逻辑系统中的命题逻辑部分。历史上最早研究命题逻辑的是古希腊斯多阿学派的哲学家。现代对命题逻辑的研究始于19世纪中叶的G.布尔。G.弗雷格则于1879年建立了第一个经典命题逻辑的演算系统。　　语法和语义　研究命题逻辑需要使用公式表示复合命题的形式,并反映复合命题的逻辑特征,组成这种公式的一

2、组符号和规定怎样由符号构成公式的一组规则，合在一起便构成一个人工符号语言。当把符号和公式看作是没有意义的具体对象，只研究公式之间的关系时，这种研究称为语法的；当对符号和公式予以解释，例如把一部分符号解释为命题联结词，把某些符号解释成取真假二值为值的变元，并在这种解释下研究公式的意义时，便称这种研究为语义的。命题逻辑在描述和研究符号语言、即对象语言时,还要使用另一种语言,即元语言。元语言通常由某种自然语言并加上若干专门符号构成。关于整个命题逻辑系统的性质和系统特征的研究，称为元逻辑的研究。由元逻辑研究得到的关于整个逻辑系统的定理称为元

3、定理。　　命题形式　用特定的语词把命题连接起来可以构成复合命题；从中起连接作用的语词称为命题联结词；构成复合命题的命题称为支命题，支命题本身也可以是复合命题。命题逻辑研究复合命题的逻辑形式、推理形式和公理系统。传统逻辑关于假言推理、选言推理和二难推理等的理论，都属于命题逻辑的范围。复合命题的形式可以公式明晰地表示。在经典命题逻辑里，这种公式通常由以下3种符号组成：①表示任意命题的命题变元，它们是p,q,r,p1,q1,...；②5个基本的命题联结词,即塡、∧、∨、→、凮；③用来显示公式的结构层次的括弧(,)。5个基本的命题联结词依次

4、称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词和等值词；在汉语中，它们通常分别用语词"并非"、"并且"、"或者（可兼的）"、"如果...则"以及"当且仅当"表达，在这5个联结词中,否定词属一元联结词，其余4个都是连接两个命题以构成复合命题，称为二元联结词。复合命题的形式都可以用这3类符号构成的公式表示。如塡p表示否定命题的形式，p∧q、p∨q、p→q、p凮q，分别依次表示合取、析取、蕴涵和等值命题的形式。它们是和5个基本的联结词相应的5个基本的复合命题形式。　　命题联结词的解释和真值函项　经典命题逻辑把命题看成或者真的或者假的，认为复合命题的真

5、假可唯一地由其支命题的真假决定。命题的真和假叫做命题的真值。命题变元是取真值（真或假）为值的变元，也就是以真值组成的集合为变域的变元。联结词是施于命题以形成命题的算子，特别是从命题的真值得出命题真值的算子。命题形式是一种真值函项，即以真值集为变元的定义域，并以真值集为值域的函项。这种真值函项可以用真值表定义。5个基本命题形式的真值表为:这个真值表规定了其中联结词的意义。其中的1代表真，0代表假。从表中可以看出这5个基本命题形式的值怎样由其中变元的值决定。例如，最左边的表表示，塡p的值由p的值决定，当p的值为1时，塡p的值为0；当p的

6、值为0时，塡p的值为1。这也就是对塡的解释。　　联结词可以相互定义,例如,∨可用塡和→定义，即把p∨q定义为塡p→q。事实上，所有联结词都可以用某些基本联结词定义出来。例如，所有联结词都可以归结到塡和→，或者塡和∧，或者塡和∨。　　常真式　常真式或称重言式是经典命题逻辑的一个公式，称为常真的。如果其中的命题变元不论赋予真值1或0，该公式的值常为1；如果对命题变元的每一组真值赋值一公式的值常为0，此公式便称为常假式或矛盾式。命题逻辑的公式可以分为常真的、常假的、以及对命题变元的某些组赋值取值1而对其它赋值取值0的公式3种类型。常真式表

7、达着命题逻辑的定律（规律）,具有特殊的意义。　　例如p∨塡p、p∧(p→q)→q，都是常真式。前者表示排中律，后者是表示肯定前件假言推理的推理形式的公式。一个公式是不是常真的，可以用真值表方法确定，即由依据5个基本命题形式的真值表所逐步构造出的真值表确定。下表可以说明怎样用真值表确定一个公式的真值，确定一个公式是否常真。表中最后一横行圈内的数码表示逐步求值的次序，纵列⑦是要确定其是否常真的公式的真值,因其全部是1,从而表明该公式常真,是一常真式。我们用元语言符号Ａ、Ｂ等表示任一公式,用喺Ａ表示Ａ是一常真式。还用Ａ喺Ｂ表示对于Ａ和Ｂ中

8、出现的命题变元的每一组赋值,当Ａ的值为1时,Ｂ的值必定也是1。喺与公理系统所用到的儱不同，前者是语义符号，而后者是语法方面的符号，它表示在系统中可以证明。按照常真式的定义，显然有：一公式A常真，当且仅当它的否定塡Ａ常假。　　公理系统