(命题人广州市教育局教研室 曾辛金)

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1、欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com九、《圆锥曲线与方程》变式题（命题人：广州市教育局教研室曾辛金）XYPODM1．（人教A版选修1－1，2－1第39页例2）如图，在圆上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？变式1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则，．即，．因为点P在圆上，所以．即，即，这就是动点M的轨迹方程．变式2：设

2、点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，．因为点P在圆上，所以．即，即，这就是动点M的轨迹方程．《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com变式3：设点P是曲线上的任一点，定点D的坐标为，若点M满足．当点P在曲线上运动时，求点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，．因为点P在圆上，所以．即

3、，这就是动点M的轨迹方程．2．（人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题）已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点．（1）求的周长；（2）如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？变式1（2005年全国卷Ⅲ）：设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A．B．C．D．解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得．选D．解二：∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴.∵，∴，∴

4、．故选D．变式2：已知双曲线的左，右焦点分别为，点P《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为．解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．解二：设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．变式3（2005年全国卷Ⅰ）：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的

5、直线交椭圆于A、B两点，与共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则直线AB的方程为，代入，化简得.设A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以椭圆可化为设，由已知得在椭圆上，即①由（Ⅰ）知《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com又，代入①得故为定值，定值为1.3．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1A组第

6、6题）已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．变式1（2004年湖北卷理）：已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为A．B．3C．D．解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，故选D．（可以证明不存在以点P为直角顶点的三角形）变式2（2006年全国卷Ⅱ）：已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则

7、的周长是A．　　　　B．6　　　　C．　　　　D．12解：由于椭圆的长半轴长，而根据椭圆的定义可知的周长为，故选C．4．（人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题）《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.com如图，矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．请证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N在同一个椭圆上．变式1

8、：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数．解：将直线代入双曲线C的方程整理，得……①依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故解得．设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得……②∵双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：整理，得……③把②式及代入③式化简，得解得，故．《中学数学信息网》系列资料WWW.ZXSX.COM版权所有@《中学数学信息网》欢迎光临《中学数学信息网》zxsx127@163.co