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《高中数学第二讲讲明不等式的基本方法21比较法22综合法与分析法达标训练新人》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2.1比较法2.2综合法与分析法更上一层楼基础・巩固1.求证：a2+3b2>2b(a+b).思路分析：根据不等式两边均为多项式，作差比较后可以化为完全平方式的形式，容易判定符号，用比较法较好.证明:Ja2+3b2-2b(a+b)=a2~2ab+b2=(a-b)2^0,.az+3b2>2b(a+b).思路分析：本题左右两边均含有根式，直接比较不好证明，可以用分析法证明，当然也可以用综合法证之.又V(V3+V2)2-(V10)2=2V6-5=V24-V25<0,3.求证：-1W罕—1.夕+1思路分析：由于一$0,所以采用分析法证明，逐步寻求待证不等式的充分条件
2、即可，/+1用分析法证明较好.2222证明：要证只需证m*即上一no,上式显然成立，所以a*+1+1+1a2—]a2—1匕一上-1・类似地，可以证明V-L<1-/+1亍+[4.已知a,b,c>0,求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)26abc.思路分析：(1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母，不等式不变)，在因式分解或配方吋，往往采用轮换技巧.再如证明a2+b"+c2>ab+bc+ca吋，可将a2+b2+c2-(ab+bc+ca)配方为丄[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2],亦可利用a2+b2^2ab,b'+c空2bc,c2+
3、a2^2ca,三式相加2证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式获证.证明：Tab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc=a(b2+c2-2bc)+b(aJ+c2~2ac)+c(a2+b2~2ab)=a(b~c)2+b(c~a)2+c(a~b)10,:.ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)26abc.a+b+c5.已知a,b,c>0,求证:aabbcc^(abc)3思路分析：显然不等式两边为正，且是指数式，不妨设a$b2c,,则a-b,b-c,a-cWR+,故尝试用作商比较法.证明：等式关于a,b,c对称，不妨设aMbNc,则a~b,b
4、~c,a-c^R.,且纟上，纟都大于bcc等于1.aabbcc2a_b_c2b_a_c2c_a_ba_ba-cb-ab_cc_q.a3b3c3-a3•a3•b3•Z?3•c3a^-b+c(abc)3c-b•亍a+b-¥c(abc)3・6.已知ZABC的三边长是a,b,c,且m为正数，求证：1>―-—.a+mh+mc+m思路分析：直接证明不容易找到思路，选择分析法通过通分变形，用到三角形三边的关系:Va,b,c为三边长，a+b>c,问题得证.证明：欲证原不等式成立，只要证：a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0,按ni的降
5、幕整理得，(a+b~c)mJ+2abm+abc>0.Va,b,c为三边长,Aa+b>c.又m>0,/.(a+b-c)m2+2abm+abc>0成立.所以原不等式成立.综合•应用7.设f(x)=2x2+1,pq>0,p+q=l.求证:对任意实数a,b,恒有pf(a)+qf(b)Nf(pa+qb).思路分析：通过作差变形得到2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1,通过讨论,判断符号，发现证明思路，用综合法去证.证明：考虑原式两边的差.pf(a)+qf(b)-f(pa+qb)=p(2a2+l)+q(2b2+l)一[2(pa+qb)2+l]=
6、2p(l~p)aZ+2q(1-q)b'-4pqab+p+q-1.①Vp+q=l,pq>0,①式=2pqa2+2pqb2-4pqab=2pq(a-b)空0.即原式成立.c、n.,r十宀口b~b~Cl^,8.设8、b、。丘｛正买数｝,证明：>abc.q+Z?+c思路分析:通过观察不等式两边的特点，可轮换应用基本不等式，直接用综合法可证，也可用分析法证明.证明：*.*a'b2+b?c2^2ab?c,a2b2+ca22a2bc,b：c2+c2a2^2abc'A2(a2b2+b2c2+c2a2)22abc(a+b+c),a2h2+/?2c2+c~a~、,..Mabe
7、.a+b+c6.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点•甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m^n,问甲、乙两人谁先到达指定地点.思路分析：设从出发地点至指定地点的路程是s,甲、乙两人走完这段路程所用的吋间分别为St2.要回答题目中的问题，只要比较t.,t2的大小就可以了.解：设从出发地点至指定地点的路程是s,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为tbt2,根据题意有c]r1jJ—m——n=s,1=t2,222m2n可得ti=,t2=—,m+n2mn22..，-2ss(m+n)s[4mn-
8、(m+n)~]从rfnti-t2==,m+n2mn2
