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《高中数学第4章圆与方程42直线、圆的位置关系421直线与圆的位置关系教材梳理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.2.1直线与的位置关系疱丁巧解牛知识•巧学一、直线与圆的位置关系的判断方法一：代数法(或A法)将直线的方程与圆C的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程.(1)当A>0吋，方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线1与圆C相交；⑵当A二0时，方程有唯一解，此时方程组也有唯一一组解，说明直线1与圆C相切；(3)当厶<0时，方程无实数解，从而方程组也无解，说明直线1与圆C相离.方法二：儿何法判断圆C的圆心到直线1的距离d与圆的半径r的关系.(1)如果d〈r,直线1与圆C相交；(2)如果d二r,直线1与圆C相切；(3
2、)如果d>r,直线1与圆C相离.方法点拨以上两种方法都是针对直线与整个圆的位置而言的，研究直线与部分圆的关系时,除利用以上两种方法外，一般都用数形结合求出字母的取值范围.二、直线与圆的位置关系中的三个基本问题1.判定直线与圆的位置关系问题，常规方法是比较d与r的大小.2.求圆的切线方程问题，求切线有三种情况：(1)从圆上的己知点为切点求切线；(2)已知切线的斜率求切线；(3)已知圆外一点求切线.求切线的方法：(1)利用圆心到直线的距离等于圆的半径；(2)判别式法，一般地，过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条;(3)切
3、点坐标代换法，即如果圆的方程为x2+y2=r2,则过圆上一点(x。，y°)的切线方程为x0x+y0y=r2.3.关于弦长问题，一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁.误区警示在求与圆相切的直线方程时，首先要判断点与圆的位置关系.当点在圆上时，切线只有一条，若点在圆外，则切线有两条，可以设出直线方程，用待定系数法求解，在设方程吋一定要注意到直线斜率不存在的情况，避免漏解.问题・探究问题1旋转滴有雨水的伞，雨水将会沿着伞的各自什么位置飞出？探究:沿着一条直线的方向飞出，此直线是以伞的边缘点为切点的切线.问题2给出
4、一个已知圆C：(x-2)2+(y-3)M,直线I：(m+2)x+(2m+l)y=7m+8,当mWRR寸，你能确定这条直线与圆的位置关系吗？与参数m有关吗？探究：由己知直线1的方程(m+2)x+(2m+l)y二7m+8变形可得(2x+y-8)+m(x+2y-7)=0,由直线系方程知识可知，此直线必过两直线2x+y-8二0和x+2y-7二0的交点，解之可得交点为(3,2),即无论m为何值，直线1恒过定点(3,2).而容易判断点(3,2)在已知圆内，所以直线与圆总相交，与参数m无关.典题•热题例1求经过点(1,-7)且与圆x?+y2二
5、25相切的切线方程.思路解析:将点(1，-7)代入圆方程，有12+(-7)2=50>25,可知点(1,-7)是圆外一点，故所求切线有两条，要求切线方程，只需求切线的斜率或再求切线上另一点.解：法一：设切线的斜率为k,由点斜式有y+7=k(x-l),即y=k(x-l)-7.将其代入圆的方程x2+y2=25得x2+[k(x-l)-7]2=25,整理得(k2+l)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0,A=(2k2+14k)2-4(k2+1)・(k2+14k+24)=0.43整理得12k-7k-12=0,・・・k二一或k二
6、一一.34所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.法二：设所求切线的斜率为k,则所求直线方程为y+7二k(x-l),即kx-y-k-7=0,由圆的切线的性质，可得IO-。"-？」,化简得i2k2_7k_12=0,或心一丄.7TTF34所以切线方程为4x-3y-25=o或3x+4y+25二0.法三：设所求切线方程为xox+yoy二25,其中(xo,yo)是圆上的点,将坐标(1,-7)代入后[x0-7y0=25,得xo-7yo=25,由47x：+y；=25,解得…故所求切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+2
7、5二0.深化升华求切线一般有三种方法：①设切点用切线公式法；②设切线斜率用判别式法；③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆的半径列式求解法•过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在吋的情况.例2求与圆x2+(y-2)2=l相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程.思路解析：本题所求的是切线的方程，且在x轴上的截距和在y轴上的截距互为相反数，所以可以考虑从直线的截距式方程入手来求方程，当然首先要注意到截距为零的情形.解：⑴截距为。时，设切线方程为则型辟"解得心®所求直线方程为y=±73x.⑵截距不为。时，设切
8、线方程为g時冷"解得心±妊所求直线方程为x-y+2±V2=0.综上所述，所求的直线方程为y=±届和x-y+2±V2=0.误区警示因为直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，在应用直线的截距式方程时,要注意到截距等于零的情形;在用到与斜率有关的直线方程时，要注意
