14 总体分布的估计.ppt

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1、关于矩阵行等价的一些思考杨忠鹏1陈梅香1晏瑜敏1陈智雄1林志兴1林丽生1，21.莆田学院数学系2008年10月11日2.辽宁工业大学机械工程及其自动化学院福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十次研讨会目　录引言1广泛的应用3理论研究4参考文献５现状2一、引言矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换．性质2矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。性质3(见[3,定理])对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列向量的线性关系。性质1（见[1,定理3]）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。二、现状利用初等行变化，把一个矩阵化为

2、行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器，Matlab(Octave),Mathematica,Maple等，这些工具都可以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置、简化行阶梯形、行列式、LU分解、QR分解，其中最重要的是简化行阶梯形。但相比之下，其理论部分相二、现状对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没有像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视这种等价关系．国外的一些教材（如

3、[3-5]）都有给出行简化梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的,但对“矩阵的行标准形是唯一的”这一结论的证明或略去，或在后面用更多更深刻的知识作为附录给出证明的过程．现在使用这些知识的教材越来越多（如[6－9]等），但很少将“矩阵行最简形是唯一的”的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在于“矩阵的行标准形是唯一的”这个结论的证明是复杂的．三、广泛的应用1、教学中的基本要求2、课后讨论、研究3、能力提升（毕业论文选题）1、教学中的基本要求（1）求行列式（2）求矩阵或向量组的秩（3）判定向量组的线性相关性（4）求其极大无关组，并表示其他向量（5）求矩阵的逆（6）

4、求解线性方程组的矩阵形式为：求解过程：应用行化简算法解线性方程组步骤：1、写出方程组的增广矩阵.2、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形.确定方程组是否有解，如果没有解则停止；否则进行下一步.3、继续行化简算法得到它的简化阶梯形.4、写出由第3步所得矩阵所对应的方程组.5、把第4步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.计算技术日益成熟：计算器、Matlab、Octave、Sage、Maple、Mathematica等Matlab中“rref”命令是求矩阵的行最简形2、课后讨论、研究（1）求解(2)求向量的坐标[13](3)求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式

5、[13]实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题（5）化二次型为标准型及判断矩阵正定[14]其中T是上三角阵（6）把线性无关的向量组正交化[14]1)3)若欲在正交化后得到正交阵，可令则D的列向量组为标准正交组。(7)求正定阵A的分解式[14]（8）初等变换在多项式理论中的应用[15]（判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的根，求最大公因式）（i）求两个多项式的最大公因式(ii)判定多项式有无重因式(iii)求商和余式(9)数学实验(10)利用行等价判断方程组同解（考研題題型）：例1（1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四）已知两个线性方程

6、组为同解线性方程组，求参数m、n、t之值．（1）（2）要使（1）与（2）同解，只要保证这两个方程组对应的增广矩阵有相同的行标准形即可！由唯一性得求，并求（4）的一般解．例2（[18，P100，习题23）已知线性方程组的解都满足方程组（4）（3）例1‘（2007年北京交通大学硕士研究生入学考试试题10）设有两个线性方程组（1）求（I）的通解；（2）当且仅当（II）中参数a、b、c为何值时，（I）和（II）同解．（I）（II）例1’’（2007年湖北大学硕士研究生入学考试2）已知两个线性方程组同解，试确定参数a、b、c的值．（I）（II）例3（2008年浙江理工大学硕

7、士研究生入学考试）设（5）（6）为两个n+1维向量组，证明：若向量组（5）和向量组（6）等价，则线性方程组（7）和（8）同解。举例说明上述命题的逆命题不成立。事实上，逆命题是成立的！3、能力提升（毕业论文选题）（1）在初等数论中的应用（i）求整数的最大公因式及其线性表出（ii）求自然数等幂和(见[20])(见[19])（2）解线性不定方程(见[19])（3）解同余方程(见[21])（4）求最小多项式（向量关于矩阵的最小多项式)(见[22])（6）化行简化梯形矩阵的初等变换次数(见[23])（7）行简化梯形矩阵的唯一性证明及应用(见[24])四、理论研究行简化梯形矩

8、阵是矩阵的