2019高考数学专题提能五解析几何综合问题中优化运算的提能策略

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1、所以b=c,cT=2b2f蛛技巧:::练方法1.若椭圆令+左=l(a＞b＞0)的左、右焦点分别为比、F2,线段时2被抛物线y2=2bx的焦点F分成了3：1的两段.(1)求椭圆的离心率;(2)过点C(—1,O)的直线/交椭圆于不同两点A,B,HAC=2CB,当△AOB的而积最大时，求直线/的方程.解析：⑴由题意知，c+号=3(c—£(2)设A(X{9y)9y2)9直线AB的方程为x=ky—1伙HO),因为AC=2CBf所以(一1一兀】，-y,)=2(x2+l,力)，即八=一2旳，①由(1)知，椭圆方程为/+2/=2Z?2.得(F+2)〉P—2幼+1一2方2=0,2

2、k所以力+乃=命，②3a/224当且仅当

3、卅=2,即k=±^2时取等号，此时直线I的方程为x—yf2y+1=0或兀+迈y+l=0.222.(2018-石家庄摸底)已知椭圆C：★+”=1@＞方＞0)的左、右顶点分别为4、B,H3长轴长为8,T为椭圆上任意一点，直线％,帀的斜率之积为一字(1)求椭圆C的方程;(2)设0为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P,Q两点，求OPOQ+MPMQ的取值范围.解析:(1)设7U，刃,由题意知A(—4,0),5(4,0),设直线7X的斜率为山，直线彷的斜率为居，yx+4yx—4l_z7__3旷yy_3由处2--才，倚卄4

4、兀_4--孑兀2V4lc+320+4p+3-►►►►J/所以一20VOP-OQ+MP・MQ^-y.当直线PQ的斜率不存在时，OPOQ+MPMQ的值为一20.综上，OPOQ+MPMQ的取值范围为一20,—辛］3.(2018-浦东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于*,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8V3y的焦点.求椭圆C的方程；~~3+4尸-=3+W整理得tk+E22故椭圆C的方程为土+台=1・(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+2t点P,Q的坐标分别为(心,刃)，(兀2,力)，联立方程消去”得（4疋+3）H+16也一32=0.y=

5、kx+2~■6k32所XIX2=_——^从而，兀］疋+”旳+山/2+3］一2）5一2）=2（1+灼匕恋+2您兀］+疋）+4一80/—528解析：(1)设椭圆C的方程为1((7>/?>0),则b=2{3.由^=

6、,cr=cr+lr，得a=4f22・・・椭圆C的方程为士+青=1.(2)设A(xi,yj,B(x2,j2)-①设直线AB的方程为22代入話+醫=1,得<+/卄/2一]2=(),由J>0,解得一4

7、xj—X2I=y/(xi+兀2)2—4七兀2=寸/?_4(”_]2)=寸48_3”

8、.・・・四边形APBQ的面积S=*X6X怕一刈=3寸48—3?.・••当r=0时，S取得最大值，且5>nax=12V3.②若ZAPQ=ZBPQ,则直线明，的斜率之和为0,设直线刖的斜率为R,则直线的斜率为一直线必的方程为)，一3=处•一2),y_3=R(x_2),由1〔16十12得(3+4处)兀2+8(3—2斤)总+4(3-2好-48=0,.,?_8(2^~3X十―3+4尸'将k换成一比可得七+2=_8«_2£_3)8心+3),16^-12_一48£••兀i十恋=3+4疋，"一兀2=币只,X~X2X~X2Vi~y2k(x—2)+3+k(x2—2)—3k(x

9、+疋)—4k"后==—•I直线AB的斜率为定值*.224.已知椭圆E：牙+*=1@>5>0)的离心率为方稈2x2~3x+]=0的解，点A,B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上,且△ABC面积的最大值为2筋.(1)求椭圆E的方程；(2)设F为E的左焦点，点£)在直线兀=一4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M,N两点•证明：直线0D把△DMN分为面积相等的两部分.解析：(1)方程2x2—3x+l=0的解为兀1=*,尤2=1,•・•椭圆离心率ee(O,l),・・・€=解得$=2,b=V3,(厂2，由题意得仏=2羽,^a2=b2+c222・・・椭圆E的方程为于+号=1.(

10、2)证明：设M(q,卩)，Ng旳)，D(—4,«),线段MN的中点为P(x°,为),故2x()=X

11、+%22j?o=yi+『2,由⑴可得F(—1,0),则直线DF的斜率为心=n~0-4-(-1)当"=o时，直线MN的斜率不存在,根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当料工0时，直线的斜率如尸八一力X]—x2•••点M,N在椭圆E上,©1+)沁1一$2)3=0又3)=兀1+兀22刃)=刃+)6n即直线OP的斜率为k()p=—Y1又直线OD的斜率为k()D=-^AOD平分线段MN.综上，直线OD把△DMN分为面积相等的两部分.(2)如图，已知P(2,3),2(2,一3

12、)是椭圆上