数学（理）二轮能力训练：专题提能五 解析几何综合问题中优化运算的提能策略---精校解析 Word版

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1、1．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且＝2，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．解析：(1)由题意知，c＋＝3，所以b＝c，a2＝2b2，所以e＝＝＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)，因为＝2，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)，即y1＝－2y2，　①由(1)知，椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.由消去x，得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0，所以y1＋y2＝，

2、　②由①②知，y2＝－，y1＝，因为S△AOB＝

3、y1

4、＋

5、y2

6、，所以S△AOB＝3·＝3·≤3·＝，当且仅当

7、k

8、2＝2，即k＝±时取等号，此时直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.2．(2018·石家庄摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．解析：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝.由k1k2＝－

9、，得·＝－，整理得＋＝1.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋x1x2＋(y1－2)(y2－2)＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.所以－20＜·＋·≤－.当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20.综上，·＋·的取值范围为.3．(2018·浦东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．(1)

10、求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．解析：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①设直线AB的方程为y＝x＋t，代入＋＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ＞0，解得－4＜t＜4，由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，∴

11、x1－x2

12、

13、＝＝＝.∴四边形APBQ的面积S＝×6×

14、x1－x2

15、＝3.∴当t＝0时，S取得最大值，且Smax＝12.②若∠APQ＝∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)，由得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，∴x1＋2＝，将k换成－k可得x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，∴kAB＝＝＝＝，∴直线AB的斜率为定值.4．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为方程2x2－3x＋1＝0的解，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.(1)求椭圆E的

16、方程；(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．解析：(1)方程2x2－3x＋1＝0的解为x1＝，x2＝1，∵椭圆离心率e∈(0,1)，∴e＝，由题意得解得∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点为P(x0，y0)，故2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，则直线DF的斜率为kDF＝＝－，当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝，∵点M，N在椭圆E上

17、，∴整理得＋＝0，又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，∴＋·＝0，即＝－，即直线OP的斜率为kOP＝－，又直线OD的斜率为kOD＝－，∴OD平分线段MN.综上，直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．