第8章_离散时间系统的z域分析_

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1、第8章离散时间系统的z域分析8.1离散信号的z变换及收敛域8.2z逆变换8.3z变换的基本性质8.4利用z变换解差分方程8.5离散系统的系统函数主讲：黄慧(1)Z变换、性质及其收敛域(2)利用z变换求解差分方程(3)离散系统的系统函数(4)系统稳定性及因果性本章主要内容8.1离散信号的z变换及收敛域z变换的定义可以由取样信号的拉氏变换引出，也可以直接对离散信号给予定义。8.1.1z变换定义x[n]的双边z变换:x[n]的单边z变换:Z对z变换式的理解对z变换式的说明8.1.2典型离散序列的z变换（一）单位样值序列0n（二）单位阶跃序列u[n]01n1234Z

2、x[n]0n（三）斜变序列上式两边分别对z-1求导，得两边乘以z-1，得Z（2）左边指数序列Z01k1234（四）指数序列（1）右边指数序列0-1n-2-3Z结论：左边序列收敛域为圆外的部分，左边序列收敛域为圆内部分；双边序列收敛域是怎样的呢？两个不同的序列对应于相同的z变换，但z变换收敛域不同。例：已知序列为x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]，求它的z变换，并确定收敛域。解：例：x[n]=2nu[n]-3nu[-n-1]的z变换，并确定收敛域。结论：双边序列收敛域为一个圆环。结论：★收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）；★有限长序列的收敛域为整个

3、z平面（可能除去z=0和z=）；★右边序列的ROC为　的圆外；★左边序列的ROC为　的圆内；★双边序列的ROC为的圆环。ROC：ROC：（五）单边正、余弦序列x[n]01n12令指数序列中，那么，同理：8.1.3z变换的收敛域收敛域：对序列x(n),能满足级数绝对可和所有z的范围。同时表达式也应有意义也即z在0和无穷大处。1．有限长序列的收敛域2．右边序列的收敛域3．左边序列的收敛域4．双边序列的收敛域1）有限长序列（有始有终序列）这类序列只在有限的区间具有非零的有限值，此时z变换为收敛域为整个z平面。但应注意z=0及无穷不一定能够取到。例如:x[n]=u

4、[n]-u[n-3]例如:x[n]=u[n+1]-u[n-3]2）右边序列这类序列是有始无终的序列，即当n23)左边序列这类序列是无始有终的序列，n>n2时x[n]=0。此时z变换为若令m=-n，上式变为如果将变量再改为n，则若满足即则该级数收敛。结论：左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。例如:y[n]=-2nu[-n-1]收敛域为：︱z︳<2例如:y[n]=2nu[n+1]y[n]的z变换:收敛域为：2<

5、︱z︳<∞考虑收敛域问题都应注意z=0及无穷处函数是否有定义。例如:y[n]=2nu[-n+1]y[n]的z变换:收敛域为：0<︱z︳<24）双边序列（无始无终序列）双边序列是从n=-∞到n=+∞的序列，一般可写为显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换迭加。那么当,X(z)的收敛域就为圆环。n1=-∞n2=+∞例：求序列x[n]=anu[n]-bnu[-n-1]的z变换，并确定收敛域（b>a,b>0,a>0）。解：由例1的结果可直接得到：因为b>a,这样得到结论：★ROC内不包含任何极点（以极点为边界）；★有限长序列的ROC为整个z平面（可能除去z=0

6、和z=）；★右边序列的ROC为　的圆外；★左边序列的ROC为　的圆内；★双边序列的ROC为的圆环。ROC：ROC：8.2z逆变换8.2.1幂级数展开法（长除法）若x[n]为右边序列，则若x[n]为左边序列，则z逆变换有幂级数展开法、部分分式展开法、留数法等。对于右边序列，按照z的降幂排列或者z-1的升幂排列；对于左边序列，按照z的升幂排列或者z-1的降幂的排列。例8-4：已知分别求上述两种情况下的逆变换x[n]。2）收敛域为1）收敛域为解：1）x[n]为右边序列，这时X(z)的分子与分母按z的降幂（或z-1的升幂）次序排列。2）x[n]为左边序列，这时X(

7、z)的分子与分母按z的升幂（或z-1的降幂）次序排列。令–n替换n8.2.2部分分式展开法通常序列的z变换是z的有理函数，所以解：因为z变换的基本形式是步骤：通常先将展开，然后每个分式再乘以z。例8-5：求的逆变换x[n]（收敛域为）又因为，所以是因果序列，因此：一般形式解：所以，例2求的逆变换x[n](收敛域为1<

8、z

9、<2)例：草稿：解：8.3z变换的基本性质（一）线性性质例8-6：求序列anu[n]-anu[n-1]的z变换。已知:ZZZZZ其中,a、b为任意常数。Z零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。(二)位移性1.双边z变换2.单边z变换(1)左移

10、位性质(2)右移位性质原序列不变，只影响在时间轴上的