周期信号的付里叶级数

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1、第四章连续周期信号的付里叶级数4.1引言4.2连续周期信号在三角函数集上展开4.3连续周期信号付里叶展开举例4.4有限项付里叶级数与均方误差4.5小结4.1引言法国数学家付里叶《热的分析理论》（1822年），提出并证明周期函数可以展开成正弦级数泊松、高斯等人将这一成果运用到电学中付里叶分析属于频域分析，其研究与应用已经经历了一百多年频域分析较之时域分析有许多突出的优点为适应计算机应用，发明快速付里叶变换（FFT）付里叶分析广泛应用于电子、通信、控制、计算机、力学、光学、量子物理和各种线性系统分析领域4.2连续周期信号在三角函数集上展开1、物理意义付里叶级数是将信号在正交三角

2、函数集上进行分解（投影）类比：材料（如钢材）性能表征，可以采用硬度，韧性等指标系列衡量。如果将指标系列类比为一个正交集，则指标上值的大小可类比为性能在这一指标集上的分解，或投影分解的目的是为了更好地分析事物的特征正交集中的每一元素代表一种成分，而分解后对应该元素的系数表征包含该成分的多少举例：W0=10Hz由上例，f(t)可由f1(t)，f2(t)，f3(t)经过线性叠加得到f1(t)，f2(t)，f3(t)可以看做基本信号线性叠加后得到的f(t)包含1份f1(t)，2份f2(t)，3份f3(t)，分解有助于分析f(t)的性质联想：是不是任何信号均可以由一系列基本信号经过线性

3、叠加得到呢？是的2、三角函数集基本函数的选择问题，选择正交的三角函数集3、连续周期信号的付里叶展开（三角函数形式）系数求解问题，利用上一章介绍的正交函数集理论根据正交函数集理论4、连续周期信号的傅里叶展开(一般形式)5、周期信号的付里叶展开（指数形式）4.3连续周期信号付里叶展开举例周期性脉冲：脉宽为，周期为T1……tf(t)T1Ea序列c序列序列F序列4.4有限项付里叶级数与均方误差以周期性方波为例：……f(t)tE/2-E/2T1T1/2F1(t)F2(t)F3(t)红线为方波，蓝线为有限项逼近曲线由上例，当采用有限项付里叶级数逼近原信号时，存在均方误差该误差

4、随采用项数的增加而减小，表现为线性叠加后的信号与原信号越相似当项数无穷大时，线性叠加信号可以无限逼近原信号（均方误差趋向于0）4.5小结周期信号傅里叶展开的正交函数集的选择周期信号傅里叶展开的三种形式：三角函数形式、一般形式、指数形式，三种形式之间系数的关系有限项付里叶级数的叠存在均方误差，该误差随项数的增加而减小，并趋向于0周期信号傅里叶展开的物理意义：从各余弦项的系数大小可以判断该信号包含多少高频或低频信号