231数学归纳法教案（人教B版选修2-2）

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1、231数学归纳法【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。（2）会证明简单的与正整数有关的命题。2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基

2、本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：221+1=5,22+1=17,223+1=257,22"+1=65537归纳猜想：任何形如22”+

3、igm的数都是质数，这就是著名的费马猜想。半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数7?=22?+1=641x6700417不是质数，从而推翻了费马的猜想。“不完全归纳有时是错误的”(培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力•概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程・)情境2、数列｛an｝，已知⑷=1,an+]=a"丘nJ通过对斤=1,2,3,4前41+色项归纳，猜想atl=-——可以让学生通过数列的知识加以验证一一“不n完全归纳有时

4、是正确的”。通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。第二阶段：搜索生活实例，激发学习兴趣1、“多米诺骨牌”游戏动画演示:探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件］疔观条多*诺件片卑游戍引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件;①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式色=丄的n猜想。“參

5、米诺骨牌”原理①第一块骨牌倒下；②若第k块倒下，则使得第k+1块倒下验证猜想①M=1验证猜想成立②如果n=k时，猜想成立。即ak=,则k当n=k+1时,1£+1ak+1即72=r+1时猜想成立3、引导学生概括，形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下:(1)证明当刀取第一个值他时结论正确；(归纳奠基)(2)假设当n=k⑴丘矿，自nJ时结论正确，证明当n=k+时结论也正确.(归纳递推)完成这两个步骤后，就可以断定命题对从斤。开始的所有正整数门都正确.这种证明方法叫做数学归纳法.第三阶段：巩固认知结构，充实认知过程例1•用数学归纳法证明12+

6、22+32+•••+；?=巴空沁26证明：(1)当n=1时，左边=12=1,右边=1(1+1)(2・1+1),等式成立。6(2)假设当n二k时，等式成立，即I?+22+3?+・.・+£2邛伙+1)0+1)6则当n=k+l时，左边才+2?+33+・・・+，+$+1)2="伙+W+1)+伙+1尸=丄伙+1)仏(2£+1)+6伙+1)]66二丄伙+1)(2疋+7k+6)=丄伙+1)[伙+1)+1][2伙+1)+1]66二右边即当n二k+1时等式也成立。由(1)、(2)可知，门丘N*时，等式成立。师生共同总结：1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与

7、自然数有关的问题。2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。4、完成第1)、2)步骤的证明后，要对命题成立进行总结。练习：用数学归纳法证明丄+丄+丄+…+―；——=亠1x33x55x7(2h-1)(2h+1)2n+l证明：(1)21时，左迟占右妇2x1+1等式成立。(2)假设n二k(keN*)时等式成立，即丄111k应十3>6十5/7°•十(妇却—茹―心11111人n_+，阴3x5"5才•"依—(%+1)(%+3_k1_Zr+1_k+1一2R+1*(2a+l)(2k+3)一2P+3一2伙+1

8、)+1即当n二k+1时等式也成立。根据(1)和(2),可知等式对任何nGN*都成立。探究：已知