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《2007年全国高中数学联赛模拟题联合命题-湖北彝陵中学张》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2007年全国高中数学联赛模拟试题湖北省宜昌市夷陵中学张欣然一,选择题1,设,则的最大值为()56782,下面给出四个命题:①,在中,恒为正值.②,在中恒为正值.③,在中,,恒为正值.④,在非直角中,恒为正值.其中正确的命题个数为()43213,已知数列是正整数组成的递增数列,且满足,若则()102152212不能唯一确定4,方程所表示的曲线为()双曲线焦点在轴上的椭圆焦点在轴上的椭圆以上答案均错5,在三棱椎中,,若三侧面与底面所成二面角均为,则三棱椎的体积为()12346,某人投两次骰子,先后得到点数,
2、用来作为一元二次方程的系数,则使方程有实根的概率为()二,填充题7,数列满足,,(分别表示的整数部分和小数部分),则=_____________8,如图,分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,且若B,M,N三点共线,则=______________CABDEFMN9,对于给定的正整数,则由直线与抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为________________10,有一道数学竞赛题,甲,乙,丙单独解出的概率分别为,其中都是一位正整数,现甲,乙,丙同时独立解答此题,若他们中恰有
3、一人解出此题的概率为,那么,他们三人都未解出此题的概率为______________11,设为复数,其中,,若,则当的辐角主值最小时,的值为_______________12，设都是正整数，且，则的个位数字是_______________三,解答题13,已知是实数,二次函数满足求证:－1与1中至少有一个是的根.14,已知椭圆经过定点,(为实数,且)求的最小值.15,求内接于抛物线的正三角形的中心的轨迹方程第二试.一，如图⊙O切的边AB于D，切边AC于C，M是BC上一点，AM交DC于点N，求证：M是BC中点
4、的充要条件是ANMDBOC二,已知，求证数列中无完全平方数。三，给定正整数，集合，，且，其中，满足是7的倍数，求。答案部分第一试1,答(C),当时,2,答(B),①正确,由正弦定理知:②正确，当为锐角或直角三角形时，显然为正值。当为钝角三角形时，不妨设为钝角，则，∴，即又，故。③正确，同②。④错误，由，知为钝角三角形时，其值为负。3，答(C),，方程的正整数解为或，又∴，故4，答(C),，，，故选(C)5，作，，OE⊥CA于E，OF⊥AB于F，设OP=h，则，于是，在中，，即：，所以6，答(D),由题意知
5、，，则事件总数为36，而方程有实根等价于即：，据此可列出的值：1，2，3，4，5，6。的个数为：5，4，3，3，2，2。5+4+3+3+2+2=19，故概率为。7，由已知得：，，，易得：所以。8，延长EA，CB交于P，设正方形边长为1，易知PB=2，A为EP的中点，EA=AP=由，可得：，又，CA是边上的中线，，则有，即：，整理得：，因为当B，M，N三点共线时，存在实数使得，故，解得。9，直线与抛物线的交点，设直线上位于区域内的线段为CD，其端点坐标为，则线段CD上的整点数为，，故区域内的整点数为：10，
6、依题意：即：所以:5∣,不妨设5∣，于是=5。即：，所以3∣，不妨设3∣，于是当时，；时，，无整数解。时，，无整数解。所以，，，于是三人都未解出的概率为。11，因为，所以，于是对应的点P在以对应的点M为圆心，3为半经的圆C上，当的辐角主值最小时,OP与圆C相切，而，，则，于是，又的辐角主值，，，所以，故。12，由二项式定理：，，，故，设，则，，由恒等式得：，的个位数字依次为1，6，5，4，9，0，1，6，5，4，9，0，…，所以≡，≡≡13，由知二次函数有零点，若二次函数只有唯一的零点，则这个零点就是抛物
7、线的顶点，有，解得，由，有，则，故抛物线的顶点横坐标为，所以与1中至少有一个是的根。若二次函数有两个不同的零点，因为：，所以或故与1中至少有一个是的根。14，由题设得：，由对称性不妨设，设，，，再令，则有：，当且仅当，即：时，上式等号成立，所以。15，设抛物线内接正三角形三顶点坐标为，三角形的中心M的坐标为，则有不妨设为逆时针方向，则有：，从而由实部相等得：，即：…………（3）同理由虚部相等得：……………（4）由（3）（4）得即：……………（5）（1）（2）代入（5）得同理有：，所以为方程的根由韦达定理：
8、又因为从而得：第二试.一，证明：充分性：过点N作EF∥BC，分别交AB，AC于E，F。连结OC，OD，OE，OF，因为ON⊥BC，则ON⊥EF，又OC⊥AC，则N，O，C，F四点共圆，故∠NFO=∠NCO，同理由N，O，E，D四点共圆，∠NDO=∠NEO，因∠NCO=∠NDO，则∠NFO=∠NEO，故OE=OF，从而EN=FN，所以BM=CM必要性：用同一法，作交CD于，连并延长交BC于，类似充分性的证明可得B=C，而BM=C
