2017年全国高中数学联赛模拟题2

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1、2017年全国高中数学联赛模拟题2一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程在区间上的实根个数为_________________.2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_________________.3.已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________________.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等

2、机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.6.设是平面上一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_________________.7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么_________________.8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则与的大小关系是_________________.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点

3、、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则.3.（本小题满分20分）设非负实数，，满足，求证：2017年全国高中数学联赛模拟题2（加试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、2、设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；（Ⅱ）数列{an}满足a1=f（0），且①求{an}通项公式。②当a＞1时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。3、4、2017年全国

4、高中数学联赛模拟题2一试参考答案一、填空题1.设，则，∵，∴，又，∴，即在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根.2.易知数列是首项是，公比是的等比数列，∴，于是，∵，，故最小整数是7.3.∵，∴，故所求函数的最大值等于.4.圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有个交点.5.,设第k次到达点A、点B、点C分别为事件Ak、Bk、Ck,k=1,2,3,...,n,从点B到点A为事件D,从点C到点A为事件E,则An=Bn-1*D+Cn-1*E,则（顺便说明一下：A是出发点）6.∵，∴，即，又，为单位向量，由向量加法

5、的平行四边形法则，知点的轨迹为的平分线.7.由二项式定理知，，即被3除余1，∴，，故.8.∵，，∴作商，有，故.二、解答题9.解：设交点、的坐标为、，由消去，得，由韦达定理，得，①，②∵以为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴，∴，即，整理，得③将①②代入③，并化简得，∴，经检验，确实满足题目条件，故存在实数满足题目条件.10.证明：假设存在这样的函数，则对任意的整数，设，，其中，由条件知.由于，，∴且，即是除去，后剩下的那个数，不妨设又由于，，∴.以代替，得，但这与矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数.11.证明：先证左边的不等式.∵，∴或者,只证用排序或者1的代换易证。再证右边的不等

6、式.不妨设，注意到条件，得，所以，综上，.二试1、2、解：（Ⅰ）时，f（x）＞1令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1∴f（0）=1若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故故x∈Rf（x）＞0任取x1＜x2故f（x）在R上减函数（Ⅱ）①由f（x）单调性知，an+1=an+2故{an}等差数列②是递增数列当n≥2时，即而a＞1，∴x＞1故x的取值范围（1，+∞）