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1、线段、角的计算与证明问题【专题诠释】中考的解答题-•般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。笫二部分往往就是开始拉分的中，难题了。第二部分，或者叫难度开始提上來的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的，大多是以标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。还有-的将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更何难度的A卷压轴题当小。可以说，线段角问题就是屮考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对其进行总结归纳，分析研究，来探究线段，角
2、计算证明问题的解题思路。【例题讲解】【例1】如图，梯形ABCD中，AD//BC,BD=CD,ZBDC=90°,AD=3,BC=8・求A3的长.A/?/【思路分析】线段，角的计算证明基木都是放在梯形中，利用三角形全等相似，总角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解,并R熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及ABDC是等腰直如三角形，所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂肓于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.【解析】作
3、AE丄BC于E,DF丄BC于F.・•・4E〃DF,•・•AD//BC,・・・四边形AEFD是矩形.：.EF=AD=3,AE=DF.•・•BD=CD,DF丄BC,/.DF是厶BDC的BC边上的中线.•・•ZBDC=90°,・•・DF=-BC=BF=4.A'采/.AE=4,BE=BF—EF=4—3=LSRtAABE中，AB2=AE2^-BE2・・・AB=a/42+12=V17.【例2】已知：如图，在岂角梯形ABCD中，AD//BC,ZDCB=90°,AC丄于点O,DC=2,BC=4,求AD的长.【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系•求梯形上底•对于这种对角
4、线Z间或者和其他线段也有特殊关系（例如对角线平分某和）的题,i般思路是将对和线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移，构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了总角三角形中斜边被高分成的两条线段之一，而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.【解析】过点D作DE//AC交BC的延长线于点E.・•・ZBDE=ZBOC.・.・AC丄BD于点O,・•・ZBOC=90°.・•・ZBDE=90°.・.・AD//BC,・•・四边形ACED为平行四边形.・•・AD=CE.・.・ZBDE=90°,ZDCB=90。，・DC?=BCCE.・.・D
5、C=2,BC=4,・•・CE=1.・•・AD=]此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明AACD和ADBC相似，从而利用比例关系总接求出CD。有兴趣的考纶可以多发散思维去研究。【例3】如图，在梯形ABCD中，AD//BCfZB=90°,AD=2,BC=5,E为DC中点,4tanC=-.求AE的长度A」【思路分析】这道题是东城的解答题第二部分第一•道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看Z下好象直接过D做垂线Z类的方法不行•那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的•一•方而中点木身是多对全等三角
6、形的公共点，另一方面中点和其他底，腰的中点连线就是一些三角形的中线，利用中点的比例关系就可以将已知条件代入•比如这道题，过中点E做BC的垂线，那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的肓角三如形•并且这两个肓角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的•于是得解.【解析】过点E作BC的垂线交于BC点F,交AD的延长线于点M.在梯形ABCD中，AD//BCfE是DC的中点，.・.ZM=ZMFC,DE=CE在AMDE和FCE屮，=ZMFC«ZDEM=ZCEFDE=CE.・.EF=ME,DM=CF3VAD=2,BC=5tDM=CF=-.24EF在RtFCE中
7、，tanC=-=——，3CF:.EF=ME=2.在Rt^AME中,n/65~2~【总结】以上三道真题，都是在梯形中求线段长度的问题•这些问题一•般都是要靠做出精妙的辅助线來解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合，从而达到利用已知求未知的目的•般来说，梯形的辅助线主要有以下5类：过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+-矩形平移一腰，分梯形为平行四边形+三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线，转化为平行四边形+三角形连接顶点与屮点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三和形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上
8、五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对■于角
