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1、中考数学专题：线段角的计算证明问题中考数学专题1线段角的计算证明问题第一部分真题精讲【例1】如图，梯形中，，．求的长．【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,B以及△BD是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条当中去考察做AE,DF垂直于B,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条的直角三角形当中于是有解如下【解析】
2、作于于，四边形是矩形．是的边上的中线．在中，【例2】已知：如图，在直角梯形中，∥，，于点，，求的长【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系求梯形上底对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出构造一个三角形对于此题说,直接将A向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段B是已知的于是问题迎刃而解【解析】过点作交的延长线于点∴∵于点,∴四边形为平行四边形∴此题还有许多别的解法，例如直接利
3、用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△AD和△DB相似，从而利用比例关系直接求出D。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。【例3】如图，在梯形中，，，，为中点，．求的长度．【思路分析】这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E是中点这个条中在梯形中,一腰中点是很特殊的一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条代入比如这道题,过中点E
4、做B的垂线,那么这条垂线与AD延长线,B就构成了两个全等的直角三角形并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的于是得解【解析】过点作的垂线交于点，交的延长线于点在梯形中，，是的中点，∴∵，∴在中，，∴在中，【总结】以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线解决辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的一般说,梯形的辅助线主要有以下类:1、过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+一矩形2、平移一腰，分梯形为平行
5、四边形+三角形3、延长梯形两腰交于一点构造三角形4、平移对角线，转化为平行四边形+三角形、连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下看看和角度有关的计算与证明问题。【例4】如图，在梯形中，，平分，过点作，交的延长线于点，且，，，求的长．【思路分析】此题相对比较简单，不需
6、要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条都是此类角度问题的基本条。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条，尤其是利用平行线这一条，可以得出（见下图）角与角1，2，3以及角E的关系。于是一系列转化过后，发现角=60度，即三角形DB为RT三角形。于是得解。【解析】：∵
∴∴梯形是等腰梯形【例】已知：，，以AB为一边作正方形ABD，使P、D两点落在直线AB的两侧如图，当∠APB=4°时，求AB及PD的长；【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问
7、。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB分成两个有很多已知量的RT△。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB于G。这样一，得到了△PFA△AGE等多个RT△。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。【
8、解析】：如图，作AE⊥PB于点E．在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴．如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．在Rt△AEG中，可得，（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系），．在Rt△PFG中，可得，．【总结】由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也
