高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）23幂函数知识导学案新人教A版必修1

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1、2.3摹函数知识导学我们只讨论幕指数为有理数时的简单的幕函数•虽然y二x、尸/是幕函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幕函数，如:y=x+l、y二2扌+1都不是幕函数，它们并不满足幕函数的定义，但它们是与幕函数相关联的函数，是由幕函数与常数经过算术运算得到的•对于幕函数的定义域和值域是由它的幕指数来确定的，幕指数不同，定义域和值域也不同._1_研究幕函数的图彖与性质可通过对典型的幕函数尸/、y=x'及尸兀空的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质，通过对幕函数y二xSy二x彳及y二兀刁的图象研究归纳y=xn(n<0)的图彖特征和函数性质.需要注意的有：(1)研究

2、幕函数的性质吋，通常将分式指数幕化为根式形式，负整数指数幕化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幕函数y=xn(n>0),首先应该分析惭数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图彖的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n<0,0l三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幕函数在第一彖限的图彖的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n>O(n^l)吋图象是抛物线型;*0时图象是双曲线型;n>l时图象是竖直抛物线型;0

3、抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变，不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.疑难导析对于五种常见的幕函数y二x,y=x2,y=x3,y二兀y二x",要熟悉其图象、性质，做题时要明确题目给出的是哪种类型的幕函数，以便应用图象及性质解题.当n取不同的有理数吋,幕函数y二x"的定义域：当nWN*时，定义域为R；当ffO时，定义域为{x

4、xHO};当n为负整数时，定义域为{x

5、xHO};当(p、qGN：q>l,且p、q互质)时，q①若q为偶数，则定义域为［0,+8)；②若q为奇数，则定义域为R；当n二-£(p、q

6、UN：q>l,且p、q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0,+8);②若q为奇数，则定义域为{x

7、xHO}.问题导思分数指数幕与根式只是形式不同，其意义是相同的，对正分数指数幕的理解可从以下两个层次去认识.⑴给定正实数a,等于任意给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得b'-a.这样，我们1把这个存在唯一的正实数b,记作b二d”=亦；(2)给定正实数a,对于任意给定的正整数n、mm,存在唯一的正实数b,使得b=am,我们规定b叫做a的巴次幕，记作二佰.n对于负分数指数幕，可按a化》去理解.典题导考黑色陷阱忘记幕函数底数需大于0,将导致解题失误.典题变式当xW(l,+8)时，函数

8、y二x°的图象恒在直线y二x的下方，则a的取值范围是…()A.a<1B.00D.a<0答案:A绿色通道解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当，解决问题就简单.1212［丄典题变式T尸(一)3,T2=(-)3,Ts=(-)3,则下列关系式正确的是()252A.Ti

9、取值对幕函数图象位置的影响：(1)当a=0吋，图象是直线y=l.(2)当a是正奇数时，图象分布在第一和笫三象限；当a是正偶数时，图象分布在笫一和笫二象限.(3)当a为一个既约正分数左(p、q为正整数,(p,q)=l,q>l),q若q为奇数,P也是奇数，则图象分布在笫一和第三象限;若q为奇数,P为偶数，则图象分布在第一和第二象限;若q为偶数,p是奇数，则图象分布在第一象限.(1)当a为负奇数时，图象分布在第一和第三象限；当a为负偶数时，图象分布在第一和第二象限；(2)当a为负分数吋,类似于(3)可设(p、q为正整数,(p,q)=l,q>l)，情况和(3)—样.幕指数。>0时，图象全

10、是“抛物线型”，而幕指数a〈0时，图象全是“双曲线型”•答案:D黑色陷阱本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该惭数是以x为自变量的断数)；二是在将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数也不再是原有的函数了.典题变式(1)求函数y=(x+2)「2的定义域、值域.讨论当x增大时，函数值如何变化？并画出图象；(2)问上述函数的图象与函数y二x2的图象有何关系？思路分析：根据幕函数的性质求解.答案：⑴(x

11、xeR且xH-2};R当x<-2时，函数值y随x的增大而增大，当x>-