高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数知识导学案新人教A版必修.doc

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1、2.3幂函数知识导学我们只讨论幂指数为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数,但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数,如:y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数,它们并不满足幂函数的定义,但它们是与幂函数相关联的函数,是由幂函数与常数经过算术运算得到的.对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同.研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=的图象研究归纳y=xn(n>0)的图象特征和函数性质,通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=的图象研究归纳y=xn(n<0)的图象特征和函数性质.需要注意的有:(1

2、)研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幂函数y=xn(n>0),首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即n<0,01三种情况下曲线的基本形状,还要注意n=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲,大竖直小横铺”,即n>0(n≠1)时图象是抛物线型;n<0时图象是双曲线型;n>1时图象是竖直抛物线型;0

3、类之后变简单,大于0时抛物线,小于0时双曲线,还有0到1之间,抛物开口方向变,不仅开口向右方,原来图象取一半.函数奇偶看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数.疑难导析对于五种常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1,要熟悉其图象、性质,做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数,以便应用图象及性质解题.当n取不同的有理数时,幂函数y=xn的定义域:当n∈N*时,定义域为R;当n=0时,定义域为{x

4、x≠0};当n为负整数时,定义域为{x

5、x≠0};当n=(p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,①若q为偶数,则定义域为［0,+∞);②若q为奇数,则

6、定义域为R;当n=-(p、q∈N*,q>1,且p、q互质)时,①若q为偶数,则定义域为(0,+∞);②若q为奇数,则定义域为{x

7、x≠0}.问题导思分数指数幂与根式只是形式不同,其意义是相同的,对正分数指数幂的理解可从以下两个层次去认识.(1)给定正实数a,等于任意给定的正整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a.这样,我们把这个存在唯一的正实数b,记作b=;(2)给定正实数a,对于任意给定的正整数n、m,存在唯一的正实数b,使得bn=am,我们规定b叫做a的次幂,记作b==.对于负分数指数幂,可按a-n=去理解.典题导考黑色陷阱忘记幂函数底数需大于0,将导致解题失误.典题变式

8、当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是…()A.α<1B.0<α<1C.α>0D.α<0答案:A绿色通道解此题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题就简单.典题变式T1=(,T2=(,T3=(,则下列关系式正确的是()A.T1

9、数图象位置的影响:(1)当α=0时,图象是直线y=1.(2)当α是正奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α是正偶数时,图象分布在第一和第二象限.(3)当α为一个既约正分数〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,若q为奇数,p也是奇数,则图象分布在第一和第三象限;若q为奇数,p为偶数,则图象分布在第一和第二象限;若q为偶数,p是奇数,则图象分布在第一象限.(4)当α为负奇数时,图象分布在第一和第三象限;当α为负偶数时,图象分布在第一和第二象限;(5)当α为负分数时,类似于(3)可设α=-〔p、q为正整数,(p,q)=1,q>1〕,情况和(3)一样.幂指数α>0时,图象全是“抛

10、物线型”,而幂指数α<0时,图象全是“双曲线型”.典题变式当0