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《5.2线性微分方程组的一般理论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§5.2线性微分方程组的一般理论一阶线性微分方程组称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.非齐线性微分方程组.5.2.1齐次线性微分方程组1叠加原理定理2证明则有所以2函数向量组线性相关与无关证明例1证明函数向量组在任何区间都是线性相关的.证明要使例2证明函数向量组则需因为所以故线性无关.3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式由这n个向量函数所构成的行列式称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式定理3证明定理4证明“反证法”则现在考虑函数向量由定理2(叠加原理)知,由(5.17)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾!注1:注2:定理5(5.15)一定存在n
2、个线性无关的解.证明由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足初始条件且4通解结构及基本解组定理6证明由已知条件,又因为从而可知即它们构成n维线性空间的基,由上面确定的常数，现在考虑函数向量由定理2知,由(5.20)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有即由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.推论1(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组注1:(5.15)的基本解组不唯一.注2:(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.注3:首先有线性相关.证明即有即向量组(*)是线性相关的.反
3、之,如果向量组(*)是线性相关,当然有从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理3,4,5立即分别推出第四章定理3,4,5.从本节定理6立即得到推论25解矩阵与基解矩阵及性质定义则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.基解矩阵----以基本解组为列构成的矩阵.由定理5,6得由定理3,4得注1:行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.如矩阵注2:例3验证是方程组的基解矩阵.解由于又由于证明证明于是有由此可得即有例4验证是方程组基解矩阵,并求其通解.解又由于其通解为5.2.2非齐次线性微分方程组1非齐线性微分方程组解的性质性质1性质2性质
4、32通解结构定理定理7这里C是确定的常数列向量.证明由性质2知,即这里C是确定的常数列向量.3常数变易公式则(5.15)的通解为其中C是任意的常数列向量,下面寻求(5.14)形如的解,把(5.24)代入(5.14),得(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式从而因此,(5.24)变为定理8(1)向量函数(2)方程组(5.14)的通解为注1:注2:公式(5.26)或(5.27)称为方程(5.14)的常数变易公式.解由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,由(5.26)得方程的特解为例5的解.解由例3知例6试求初值问题是对应齐次方程的基解矩阵,(2)n阶线性微分方程的常数变易公式则方程组(5.7)对应
5、齐次方程的基本解组为从而其基解矩阵为推论3的基本解组,那么非齐线性方程的满足初始条件解为公式(5.29))称为(5.28)的常数变易公式.方程(5.28)的通解可表为例7解易知对应齐线性方程的基本解组为由(5.31)求方程的一个解,这时故也是原方程的一个解.作业P2162P2176,8,10(3)
