线性微分方程组的一般理论.ppt

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1、§5.2线性微分方程组的一般理论5.2.1齐线性方程组5.2.2非齐线性方程组(5.15)称为对应于(5.14)的齐次线性方程组(5.14)称为非齐次线性方程组(5.15)NonhomogeneousHomogeneous25.2.1齐线性微分方程组(5.15)考虑定理2说明,(5.15)的所有解的集合构成一个线性空间.3什么是线性空间？定义设V是一个非空集合,F是一个数域.对于V中任意两个元素α，β，在V中总有唯一确定的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为γ=α+β。对于数域F中任一数k与V中任一个元素

2、α，在V中都有唯一确定的一个元素δ与它们对应，称为与α的数量乘积，记为δ=kα。如果加法与数量乘法满足下面规律：对V中任意的α，β，γV和F中的任意的k，l，(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(3)在V中存在零元素0，对于V中任一元素α都有α+0=α；4(4)对V中任意元素α，在V中都有α的负元素β，使α+β=0；1α=α；(6)k(lα)=(kl)α;(7)(k+l)α=kα+lα;(8)k(α+β)=kα+kβ.那么，V称为数域F上的线性空间（或向量空间），V中的元素，不论其本来性

3、质如何，都称为向量。数域：设F是复数集的子集。若F中包含0与1，并且F中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在F中，就称F为一个数域。线性空间的维数：最多的线性无关向量的个数55.2.1齐线性微分方程组(5.15)考虑定理2说明,(5.15)的所有解的集合构成一个线性空间.问题：此空间维数是多少？6例如线性无关线性相关78证明(略)c1,…,cn是非零解。反之不成立。如：(1,0,0)T,(t,1,0)T,(t2,t,0)T9101112通解13141516注1：由定2*得,解矩阵的行列式或恒为零

4、或恒不为零的结果只适用齐次ODEs给出的解矩阵。一般函数矩阵没有这样的性质，更不能用此来判断向量函数是否线性相关。17由定理1*得,初值问题的解为18解195.2.2非齐线性方程组(5.14)考虑2021常用方法之一——常数变易法假设(5.14)有解形如这里，c(t)是待定的向量函数(5.24)将(5.24)代入(5.14)得(5.26)Methodofvariationofconstant22由定理7、8得,初值问题的解为(5.27)常数变易公式23解：由例1知,对应齐线性方程组的基解矩阵为24代入常数变易公

5、式，得25考虑n阶非齐线性方程及其对应的n阶齐线性方程则(NH′)及(LH′)分别等价于下列n阶线性方程组：n阶线性方程的常数变易公式26以及27记则方程组可记为以及282930(5.29)(5.31)常数变易公式证明:由(NH′)的与(NH)的等价性,只需计算出(NH)的特解的第一行,便可得到(NH′)的一个特解.31解：由(5.31)得32习题5.2：4.5.6.作业：33