[教学]1242994334勾股定理的史料及应用

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1、勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现z—”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，冇：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在〕T•角二角形屮，两条肓介边的平力和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras,公元両572?〜公元Tjij497?）于公元询550年首

2、先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法己经失传。著名的希腊数学家欧儿里得（Euclid,公元前330〜公元前275）在巨著《几何原本》（第I卷，命题47）中给出一个很好的证明。（右图为欧几里得和他的证明图）小国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。屮国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教-下：犬没有梯子可以上去，地也没法川尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生來源于对方和圆这

3、些形体的认识。其中有一条原理：当肓角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中

4、的《勾股章》说；“把勾和股分别臼乘，然后把它们的积加起來，再进行开方，便可以得到弦”。小国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股閲方图”，川形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补來证明代数式Z间的恒等关系，既具严密性，乂具直观性，为屮国古代以形证数、形数统一、代数和儿何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家

5、人多继承了这一风格并n冇发展，只是具体图形的分合移补略冇不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，屮国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其屮体现岀來的“形数统-”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍儿种十分著名的证明方法。【证法1】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的而积等于2・把这四个直角三角形拼成：•RtAD

6、AH竺RtAABE,・•・ZHDA=ZEAB.•・•ZHAD+ZHAD二90°,・・・ZEAB+ZHAD=90°,/.ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.•・•EF=FG二GH二HE=b-a,ZHEF二90°.・・・EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于（b~aY.E、B三点在一条总线上.•・•RtAEAD竺RtZ•・・ZAED+ZADE【证法2】（课本的证明）做8个全等的肓角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别°为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形

7、.ab从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以而积相等.即+b~+4x—cib=c?+4X—cib?922,整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2.把这两个宜角三角形拼成如图所示形状，使A、a竺RtACBE,・・・ZADE=ZBEC.ZADE=90°,・・・ZAED+ZBEC=90°.・・・ZDEC=180°-90°=90°.AADEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于2又・・・ZDAE=90°,ZEBC=90°

8、,・・・AD〃BC・・・・ABCD是一•个直角梯形，它扌点十疔的面如+疔=2x-ab+-c222【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着