中科大天文系课件-83几何宇宙学

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1、§8.3几何宇宙学1.宇宙学原理由星系的大尺度均匀分布和微波背景辐射的各向同性，我们可以推测，宇宙天体的分布是均匀、各向同性的。因而提出一种假设，称之为宇宙学原理：在大尺度上,任何时刻,三维空间是均匀且各向同性的。宇宙可以看作是密度到处都相同的流休，而星系或星系团就是组成这种流休的质点。由于均匀各向同性，这种流休只会均匀地膨胀或收缩。不同地点同一时刻看到的图像相同，不同地点看到的宇宙演化图景相同。Einstein首先运用这一原理时说，之所以采用这一观点，是由于无法找到被考察区域的空间边界条件，只好

2、用这个“近似的假定”来代替边界条件的作用。Einstein的考虑当然是对的，因为我们的确不知道，今天所看到的宇宙之外是什么。但现在人们更倾向于认为，宇宙学原理不仅仅是一种权宜的无奈选择,而是我们周围均匀各向同性的宇宙向其他未知区域的自然扩展和延伸。这样的看法实际上包含着人类的一种美好理念，就像开普勒曾把行星运动看作是宇宙和谐的韵律一样，我们的宇宙是一个和谐的宇宙，而均匀各向同性是宇宙和谐的一个基本特征。2.三维常曲率空间与Robertson-Walker度规二维球面：面积为，i•为球面半径，曲率为

3、，球面上的一段线元为让我们来想象一个（四维空间中的）三维球面。从均匀性的观点出发，我们希望是常曲率，所以希望是三维球面。这时空间中的两点距离表达为:其中表示空间弯曲的程度。相应于平直空间。表示空间弯曲。如常数，即，就回到二维球面。根据高斯求曲率的公式，得到曲率由于平直空间故现在我们把上述三维球面放到四维时空中。均匀各向同性要求，在同一时刻，各处的空间曲率应相同，当然曲率可以随时间变化。因而可写为，即定义再定义（具有长度量纲，故无量纲）则，称为宇宙尺度因子。构成共动坐标，即如同二维球面上的经纬线那样

4、随球面一起膨胀或收缩的坐标。结果球面上每一个点的共动坐标是不变的。但物理坐标是变的（因为在变），在每一个坐标点处再放置一个钟纪录宇宙时间，并根据宇宙学原理，各处的宇宙时是相同的。对一个静止于共动坐标系的观测者来说，其世界线是为常值的线（测地线）。这样，原时间隔现在写为（取光速，并且习惯上把仍换成）且对于从0-1）此度规称为是共动坐标，而物理坐标应是。或者,,另一个星系位于，则两者之（此时无量纲，有长度量纲,Robertson-Walker度规。注意此时在此空间中如果一个星系位于间的固有（物理）距离

5、是固有速度则收缩。定义为哈勃常数；如则宇宙膨胀,1.宇宙学红移观看视频：设星系位于共动坐标处，在时刻发射的光子于时刻（现在）被观测到,问波长应有怎样的变化？光子的传播要求波的开始波的结束当的尺度远小于使变化的时间尺度时，上式近似为膨胀的二维宇宙及其共动坐标1.星系数密度的演化按R-W度规，时刻在超球面与之间的固有体积此体积内的星系数为：随着时间的改变，假定，则以前的时刻,即［注意是固有数密度，是在固有（物理）坐标系中测定的，而共动数密度并不变。］2.牛顿宇宙学事实上我们用牛顿理论+宇宙学原理也可以

6、得到膨胀的宇宙模型。用牛顿力学分析均匀分布的物质运动，基本方程为（泊松方程）：（连续性方程）:（Eular方程）:（零压，无外力，自引力体系）牛顿宇宙的图解膨胀的二维球面上，单位质量的质点的动能与势能之和守恒从运动学的观点，由空间中点看点和点的速度分别为（上图），从点看点的速度为。由于宇宙学原理，对的速度应等于点对点的速度:故有。这一等式必须对所有的成立，所以好是的线性函数，即（无常数项，是由于要求速度各向同性）。显然，一定时，这即是一幅膨胀宇宙的图像。利用我们用以前得到的固有速度，可知，即下面来

7、研究的动力学方程。将的表达式代入连续性方程，得又，泊松方程的解为，代入运动方程得两边乘并积分:这相当于一个半径为的球在膨胀，球上静止的单位质量的质点动能+势能守恒：（广义相对论中可以证明，积分常数就是R-W度规中的显然，如果W0,宇宙开放或平直，可以无限膨胀；如果＞0,则是束缚态,不能无限膨胀，是封闭宇宙。这就是的动力学性质。宇宙的几何性质与动力学性质联系在一起了。应当指出，我们用牛顿理论得到上述结果，与广义相对论得到的结果基本相同，其原因是由于宇宙学原理。宇宙学原理告诉我们，宇宙各个局部的运动状

8、态都是一样的，因此我们可以在一个足够小的局部范围内来研究宇宙膨胀动力学。在小范围内，星体的相对速度小于光速，故可用牛顿力学。对大尺度问题，如红移、光度公式，时空的非欧性质等，牛顿理论就不再适用了。1.减速因子由上面的动力学方程，临界情况是，此时前面有两式相除:定义宇宙减速因子,则临界情况下有如果反之,因此，我们现在得到了两个重要的宇宙学参数：（哈勃常数）（宇宙减速因子）它们都是可观测量（注意本身并不是直接可观测量）。同时给出宇宙年龄的近似值，给出宇宙视界的近似大小。由于,以及其中称