§11 命题及其关系

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1、§1.1命题及其关系自学导引1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假.3.正确理解命题的结构,分清条件和结论.课前热身(学生用书P1)1.一般地,在数学中我们把用语言､符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做________.其中判断为真的语句叫做________,判断为假的语句叫做________.2.在数学中,“若p则q”是常见的________,命题中________叫做命题的条件,q叫做命题的________.名师讲解(学生用书P1)1.命题的概念并不是所有的语句都是命题.只有能判断真假

2、,且是陈述句的语句才是命题.例如,“x>0”,由于x是未知数,无法判断该不等关系是否成立,所以它不是命题.对于“三角函数是周期函数吗?”等疑问句或其他的祈使句､感叹句等都不是命题.2.命题的真假一个命题只有真､假两种情形中的一种,即要么是真命题,要么是假命题,不存在既是真命题同时又是假命题的情形.3.命题的结构形式(1)习惯上一般用小写字母p､q､r…等表示命题.如命题p:π是无理数.(2)在数学中,常见的命题形式为:“若p则q”.其中p为命题的条件,q为结论.如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”

3、,就可以改写为“若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分”的形式.典例剖析题型一命题的概念例1:判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)“等边三角形难道不是等腰三角形吗?”;(2)“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?”;(3)“一个数不是正数就是负数”;(4)“大角所对的边大于小角所对的边”;(5)“x+y为有理数,则x､y也都是有理数”;(6)“作△ABC∽△A′B′C′”.分析:解答本题,首先要根据命题的概念,判断是否是命题,若是,再根据条件和结论的逻辑关系判断真假

4、.解:(1)通过反意疑问句,对等边三角形是等腰三角形作出判断,是真命题.(2)疑问句.没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题.(3)是假命题.数0既不是正数也不是负数.(4)是假命题.没有考虑在同一个三角形中.(5)是假命题.如(6)祈使句.不是命题.规律技巧:判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假.一般地,陈述句“π是有理数”,反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗?”都叫命题;而祈使句“求证是无理数”,疑问句“π是无理数吗?”,感叹句“向抗洪英雄学习!”等就不是命题.变

5、式训练1:下列语句是否是命题,若是判断其真假,并说明理由.(1)x2+4x+4≥0;(2)三角函数是周期函数吗?(3)一个正整数不是质数就是合数;(4)3x+5>6.解:(1)x2+4x+4=(x+2)2≥0.对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题.(2)不是命题,是疑问句,没有对三角函数是不是周期函数作出判断.(3)是假命题,整数1既不是质数,也不是合数.(4)不是命题,这种含有未知数的语句,未知数的取值能否使不等式成立无法判断.题型二命题的结构例2:把下列命题改写成“若p则q”的形式,

6、并判断命题的真假.(1)ac>bc⇒a>b;(2)已知x､y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;(3)当时,mx2-x+1=0无实根;(4)平行四边形对角线互相平分.分析:找准命题的条件和结论,是解决这类题的关键,要注意大前提的写法.规律技巧:一个命题要么是真的,要么是假的,但不能同时既真又假,也不能模棱两可无法判断其真假.当一个命题改写成“若p则q”的形式之后,判断这种命题的真假的办法有:①若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p则q”是真;②确定“若p则q”为假,则只需举一个反例

7、说明即可.变式训练2:把下列命题写成“若p则q”的形式,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)垂直于同一平面的两平面平行;(3)偶函数的图象关于y轴对称;(4)当abc=0时,a=0或b=0或c=0;(5)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.解:(1)若一个数是实数,则这个数的平方是非负数,是真命题.(2)若两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面平行,是假命题.(3)如果一个函数是偶函数,那么它的图象关于y轴对称,是真命题.(4)若abc=0,则a=0或b=0或c=0,是真命题.(

8、5)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.题型三命题的真假例3:(2008·福建高考)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P,都有a+b、a-b、ab、(除数b≠0),则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域;④数域必为无限集.其中是真命题的序号是________(把你认为是真命题的序号都填上).分析:仔细阅读题干,正确理解“数域”的定义.答案:①④规律技巧:判断一