高等数学1-07

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1、§1.7无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换三、小结湘潭大学数学与计算科学学院王文强一、无穷小的比较引例观察下表，当时，对函数的变化进行对比．当时，函数x2比x趋近于零的速度要快得多，而函数2x与x趋近于零的速度相当．湘潭大学数学与计算科学学院王文强例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限湘潭大学数学与计算科学学院王文强定义:湘潭大学数学与计算科学学院王文强例如，湘潭大学数学与计算科学学院王文强例1解湘潭大学数学与计算科学学院王文强证必要性充分性湘潭大学数学与计算科学学院王文强意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．

2、例如,常用等价无穷小:湘潭大学数学与计算科学学院王文强例２解湘潭大学数学与计算科学学院王文强二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理)证湘潭大学数学与计算科学学院王文强例３解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．湘潭大学数学与计算科学学院王文强不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例４解湘潭大学数学与计算科学学院王文强例５解解错湘潭大学数学与计算科学学院王文强例6解湘潭大学数学与计算科学学院王文强三、小结1、无穷

3、小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.湘潭大学数学与计算科学学院王文强思考题任何两个无穷小都可以比较吗？湘潭大学数学与计算科学学院王文强思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时湘潭大学数学与计算科学学院王文强练习题湘潭大学数学与计算科学学院王文强湘潭大学数学与计算科学学院王文强湘潭大学数学与计算科学学院王文强练习题答案湘潭大学数学与计算科学学院王文强湘潭大学数学与计算科学学院王文强